1402.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Ako je dat kompleksan broj z=1+i, z = 1 + i , dokazati da važi sledeća jednakost:

z2+(z−zˉ)i+2zˉ=0z^2 + (z - \bar{z})i + 2\bar{z} = 0
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo konjugovano kompleksni broj zˉ \bar{z} za dati broj z=1+i. z = 1 + i . Konjugovanje menja znak imaginarnog dela.

zˉ=1−i\bar{z} = 1 - i

Računamo kvadrat kompleksnog broja z, z , koristeći formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

z2=(1+i)2=12+2⋅1⋅i+i2z^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2

Znamo da je i2=−1, i^2 = -1 , pa sređujemo izraz za z2. z^2 .

z2=1+2i−1=2iz^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

Sada računamo razliku z−zˉ z - \bar{z} koja se nalazi u zagradi drugog člana izraza.

z−zˉ=(1+i)−(1−i)=1+i−1+i=2iz - \bar{z} = (1 + i) - (1 - i) = 1 + i - 1 + i = 2i

Računamo vrednost celog drugog člana izraza (z−zˉ)i. (z - \bar{z})i .

(z−zˉ)i=(2i)⋅i=2i2=2(−1)=−2(z - \bar{z})i = (2i) \cdot i = 2i^2 = 2(-1) = -2

Računamo treći član izraza, odnosno 2zˉ. 2\bar{z} .

2zˉ=2(1−i)=2−2i2\bar{z} = 2(1 - i) = 2 - 2i

Sada sabiramo sve dobijene rezultate u početnu jednačinu da proverimo da li je zbir nula.

z2+(z−zˉ)i+2zˉ=2i+(−2)+(2−2i)z^2 + (z - \bar{z})i + 2\bar{z} = 2i + (-2) + (2 - 2i)

Sređivanjem izraza vidimo da se svi članovi potiru.

2i−2+2−2i=02i - 2 + 2 - 2i = 0

Zaključujemo da je jednakost dokazana.

0=00 = 0

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti