Dokaz jednakosti za z = 1 + i sa konjugovanim brojem

Prvo određujemo konjugovano kompleksni broj $\bar{z}$ za dati broj $z = 1 + i .$ Konjugovanje menja znak imaginarnog dela.

\bar{z} = 1 - i

Računamo kvadrat kompleksnog broja $z ,$ koristeći formulu za kvadrat binoma $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$

z^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2

Znamo da je $i^2 = -1 ,$ pa sređujemo izraz za $z^2 .$

z^2 = 1 + 2i - 1 = 2i

Sada računamo razliku $z - \bar{z}$ koja se nalazi u zagradi drugog člana izraza.

z - \bar{z} = (1 + i) - (1 - i) = 1 + i - 1 + i = 2i

Računamo vrednost celog drugog člana izraza $(z - \bar{z})i .$

(z - \bar{z})i = (2i) \cdot i = 2i^2 = 2(-1) = -2

Računamo treći član izraza, odnosno $2\bar{z} .$

2\bar{z} = 2(1 - i) = 2 - 2i

Sada sabiramo sve dobijene rezultate u početnu jednačinu da proverimo da li je zbir nula.

z^2 + (z - \bar{z})i + 2\bar{z} = 2i + (-2) + (2 - 2i)

Sređivanjem izraza vidimo da se svi članovi potiru.

2i - 2 + 2 - 2i = 0

Zaključujemo da je jednakost dokazana.

0 = 0

93.b