1404.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem jednačina:

{z1+2z2=1+i3z1+iz2=2−3i\begin{cases} z_1 + 2z_2 = 1 + i \\ 3z_1 + iz_2 = 2 - 3i \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Iz prve jednačine izražavamo z1 z_1 preko z2. z_2 .

z1=1+i−2z2z_1 = 1 + i - 2z_2

Zamenjujemo izraženi z1 z_1 u drugu jednačinu sistema.

3(1+i−2z2)+iz2=2−3i3(1 + i - 2z_2) + iz_2 = 2 - 3i

Sređujemo jednačinu po z2 z_2 tako što pomnožimo zagradu i grupišemo članove uz nepoznatu.

3+3i−6z2+iz2=2−3iz2(i−6)=2−3i−3−3iz2(i−6)=−1−6i3 + 3i - 6z_2 + iz_2 = 2 - 3i \\ z_2(i - 6) = 2 - 3i - 3 - 3i \\ z_2(i - 6) = -1 - 6i

Računamo z2 z_2 deljenjem kompleksnih brojeva.

z2=−1−6ii−6=−(1+6i)−(6−i)=1+6i6−iz_2 = \frac{-1 - 6i}{i - 6} = \frac{-(1 + 6i)}{-(6 - i)} = \frac{1 + 6i}{6 - i}

Vršimo racionalizaciju imenioca množenjem sa konjugovanim brojem 6+i. 6 + i .

z2=1+6i6−i⋅6+i6+i=6+i+36i+6i236−i2=6+37i−636+1=37i37=iz_2 = \frac{1 + 6i}{6 - i} \cdot \frac{6 + i}{6 + i} = \frac{6 + i + 36i + 6i^2}{36 - i^2} = \frac{6 + 37i - 6}{36 + 1} = \frac{37i}{37} = i

Sada vraćamo vrednost z2=i z_2 = i u izraz za z1. z_1 .

z1=1+i−2(i)z_1 = 1 + i - 2(i)

Računamo konačnu vrednost za z1. z_1 .

z1=1+i−2i=1−iz_1 = 1 + i - 2i = 1 - i

Konačno rešenje sistema je par kompleksnih brojeva:

(z1,z2)=(1−i,i)(z_1, z_2) = (1 - i, i)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti