Stepenovanje čiji je izložilac ceo broj

Uvod

Ova lekcija objašnjava kako se računa stepen kada je izložilac ceo broj, uključujući pozitivne, nulu i negativne vrednosti. Cilj je da se razumeju osnovna pravila i uoče obrasci koji olakšavaju računanje.

Sadržaj

  1. Nulti stepen
  2. Negativni izložilac
  3. Pravila za operacije sa stepenima
  4. Stepenovanje stepena
  5. Stepen proizvoda i količnika
  6. Rad sa algebarskim izrazima
  7. Izražavanja kao stepen jedne osnove
  8. Složeni algebarski izrazi
  9. Najvažnije formule

1. Nulti stepen

Za svaki broj a≠0a \neq 0 važi:

a0=1a^0 = 1

20=1,(−38)0=1,(3)0=12^0 = 1, \qquad \left(-\frac{3}{8}\right)^0 = 1, \qquad (\sqrt{3})^0 = 1

(12+π3)0−(12−π3)0=1−1=0\left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{3}\right)^0 - \left(\frac{1}{2} - \frac{\pi}{3}\right)^0 = 1 - 1 = 0

Izraz oblika (nesˇto)0(\text{nešto})^0 uvek daje 1, bez obzira koliko je osnova komplikovana, sve dok nije nula. Ovo se često koristi da se deo izraza odmah pojednostavi.

2. Negativni izložilac

Za svaki broj a≠0a \neq 0 i prirodan broj nn važi:

a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}

Za razlomak važi:

(ab)−n=(ba)n\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n

2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}

(−3)−1=1−3=−13(-3)^{-1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}

(−1)−2=1(−1)2=11=1(-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1

(12)−2=(21)2=4\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = 4

(23)−3=(32)3=278\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}

3. Pravila za operacije sa stepenima

Množenje stepena istih osnova

am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

Deljenje stepena istih osnova

am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}

Ova dva pravila važe i za negativne izložioce. Uvek samo sabiramo, odnosno oduzimamo izložioce, pazeći na znakove.

a−3⋅a−2=a−3+(−2)=a−5=1a5a^{-3} \cdot a^{-2} = a^{-3+(-2)} = a^{-5} = \frac{1}{a^5}

a−4:a−3=a−4−(−3)=a−4+3=a−1=1aa^{-4} : a^{-3} = a^{-4-(-3)} = a^{-4+3} = a^{-1} = \frac{1}{a}

a3:a−2=a3−(−2)=a3+2=a5a^3 : a^{-2} = a^{3-(-2)} = a^{3+2} = a^5

4. Stepenovanje stepena

(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

(x−3)2⋅(x−5)−1=x−6⋅x5=x−6+5=x−1=1x(x^{-3})^2 \cdot (x^{-5})^{-1} = x^{-6} \cdot x^{5} = x^{-6+5} = x^{-1} = \frac{1}{x}

(m−2)3⋅(m3)−2⋅(m−4)2=m−6⋅m−6⋅m−8=m−20=1m20(m^{-2})^3 \cdot (m^3)^{-2} \cdot (m^{-4})^2 = m^{-6} \cdot m^{-6} \cdot m^{-8} = m^{-20} = \frac{1}{m^{20}}

5. Stepen proizvoda i količnika

(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

(ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Uprostiti (p2x−3)−2⋅(p−1x2)−3(p^2x^{-3})^{-2} \cdot (p^{-1}x^2)^{-3}:

p−4⋅x6⋅p3⋅x−6=p−4+3⋅x6−6=p−1⋅x0=1pp^{-4} \cdot x^{6} \cdot p^{3} \cdot x^{-6} = p^{-4+3} \cdot x^{6-6} = p^{-1} \cdot x^0 = \frac{1}{p}

6. Rad sa algebarskim izrazima

Algebarski izrazi sa opštim izložiocem

Kada izložioci sadrže promenljive, primenjujemo ista pravila, a zatim sređujemo izraz u eksponentu.

Uprostiti cn+1⋅cn−2⋅cn+3c^{n+1} \cdot c^{n-2} \cdot c^{n+3}:

c(n+1)+(n−2)+(n+3)=c3n+2c^{(n+1)+(n-2)+(n+3)} = c^{3n+2}

Uprostiti am+p:a2m−3pa^{m+p} : a^{2m-3p}:

a(m+p)−(2m−3p)=am+p−2m+3p=a4p−ma^{(m+p)-(2m-3p)} = a^{m+p-2m+3p} = a^{4p-m}

Razlomački izrazi sa stepenima

Kada imamo razlomke sa stepenima promenljivih, za svaku osnovu posebno oduzimamo izložioce.

Uprostiti (a3b−4):(a−3b4)(a^3b^{-4}) : (a^{-3}b^4):

a3−(−3)⋅b−4−4=a6⋅b−8=a6b8a^{3-(-3)} \cdot b^{-4-4} = a^6 \cdot b^{-8} = \frac{a^6}{b^8}

Uprostiti 15xa+1ya+2:5xa+2ya+515x^{a+1}y^{a+2} : 5x^{a+2}y^{a+5}:

3⋅x(a+1)−(a+2)⋅y(a+2)−(a+5)=3x−1y−3=3xy33 \cdot x^{(a+1)-(a+2)} \cdot y^{(a+2)-(a+5)} = 3x^{-1}y^{-3} = \frac{3}{xy^3}

Osnove suprotnog znaka

Kada se u izrazu pojave osnove oblika (a−b)(a-b) i (x−a)(x-a), treba ih svesti na istu osnovu.

Uprostiti (a−x)3⋅(x−a)4(a-x)^3 \cdot (x-a)^4:

Primetimo da je x−a=−(a−x)x - a = -(a-x), pa je: (x−a)4=(−(a−x))4=(a−x)4(x-a)^4 = (-(a-x))^4 = (a-x)^4

(predznak nestaje jer je izložilac paran). Dakle:

(a−x)3⋅(a−x)4=(a−x)7(a-x)^3 \cdot (a-x)^4 = (a-x)^7

7. Izražavanja kao stepen jedne osnove

Kada treba da uprostimo izraz oblika am⋅bna^m \cdot b^n u stepen jednog broja, tražimo zajednički izložilac.

Uprostiti 23000⋅320002^{3000} \cdot 3^{2000}:

23⋅1000⋅32⋅1000=(23)1000⋅(32)1000=81000⋅91000=(8⋅9)1000=7210002^{3 \cdot 1000} \cdot 3^{2 \cdot 1000} = (2^3)^{1000} \cdot (3^2)^{1000} = 8^{1000} \cdot 9^{1000} = (8 \cdot 9)^{1000} = 72^{1000}

Uprostiti 3200⋅4−3003^{200} \cdot 4^{-300}:

32004300=(32)100(43)100=910064100=(964)100\frac{3^{200}}{4^{300}} = \frac{(3^2)^{100}}{(4^3)^{100}} = \frac{9^{100}}{64^{100}} = \left(\frac{9}{64}\right)^{100}

Tražimo najveći zajednički delilac izložilaca. Tada pišemo svaki stepen kao stepen stepena i na kraju primenjujemo pravilo: an⋅bn=(ab)na^n \cdot b^n = (ab)^n ili anbn=(ab)n\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n.

8. Složeni algebarski izrazi

Razlomci sa negativnim stepenom i smenama

Kada izraz sadrži stepene oblika a−na^{-n}, a−2na^{-2n} i slično, korisno je uvesti smenu t=ant = a^n ili t=a−xt = a^{-x}.

Uprostiti 2−2x−2−x−62−2x−4+2−x−12−x−2−2\dfrac{2^{-2x} - 2^{-x} - 6}{2^{-2x} - 4} + \dfrac{2^{-x} - 1}{2^{-x} - 2} - 2:

Uvedimo smenu t=2−xt = 2^{-x}, pa 2−2x=t22^{-2x} = t^2:

t2−t−6t2−4+t−1t−2−2=(t−3)(t+2)(t−2)(t+2)+t−1t−2−2\frac{t^2 - t - 6}{t^2 - 4} + \frac{t - 1}{t - 2} - 2 = \frac{(t-3)(t+2)}{(t-2)(t+2)} + \frac{t-1}{t-2} - 2

=t−3t−2+t−1t−2−2=2t−4t−2−2=2(t−2)t−2−2=2−2=0= \frac{t-3}{t-2} + \frac{t-1}{t-2} - 2 = \frac{2t-4}{t-2} - 2 = \frac{2(t-2)}{t-2} - 2 = 2 - 2 = 0

Razlika kubova i zbir kubova sa stepenima

Ponekad izraz koji izgleda komplikovano sadrži skrivenu formulu za razliku ili zbir kubova.

Uprostiti (25m+20m+16m)(5m−4m)(25^m + 20^m + 16^m)(5^m - 4^m):

Uvedimo a=5ma = 5^m, b=4mb = 4^m, pa je 25m=a225^m = a^2, 16m=b216^m = b^2, 20m=ab20^m = ab:

(a2+ab+b2)(a−b)=a3−b3=(5m)3−(4m)3=53m−43m(a^2 + ab + b^2)(a - b) = a^3 - b^3 = (5^m)^3 - (4^m)^3 = 5^{3m} - 4^{3m}

9. Rezime najvažnijih formula

FormulaNapomena
a0=1a^0 = 1Za svako a≠0a \neq 0
a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}Definicija negativnog stepena
(ab)−n=(ba)n\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^nOkretanje razlomka
am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}Množenje sa istom osnovom
am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}Deljenje sa istom osnovom
(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}Stepen stepena
(ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^nStepen proizvoda
(ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}Stepen količnika
an⋅bn=(ab)na^n \cdot b^n = (ab)^nObrnuto od stepena proizvoda

Lekcije iz iste oblasti

3 lekcija

Kompleksni brojevi

Stepen sa racionalnim izložiocem

Korenovanje

Zadaci za vežbanje

10 ukupno

Izračunati vrednosti sledećih izraza sa stepenima čiji je izložilac negativan ceo broj:

2−3,(−3)−1,(−1)−2,((−2)−1+(−3)−1):((−3)−1−(−6)−1)2^{-3}, \quad (-3)^{-1}, \quad (-1)^{-2}, \quad ((-2)^{-1} + (-3)^{-1}) : ((-3)^{-1} - (-6)^{-1})
Uvodni

Izračunati vrednosti sledećih izraza koristeći pravila o stepenovanju:

20;(−38)0;(3)0;(12+π3)0−(12−π3)02^0; \quad \left(-\frac{3}{8}\right)^0; \quad (\sqrt{3})^0; \quad \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{3}\right)^0 - \left(\frac{1}{2} - \frac{\pi}{3}\right)^0
Uvodni

Izračunati vrednosti sledećih izraza sa stepenima:

1)(12)−2;2)(23)−3;3)(12)−2+(12)−1;4)(−2)−3−(−3)−2(−4)−1⋅(23)−31) \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}; \quad 2) \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}; \quad 3) \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}; \quad 4) \frac{(-2)^{-3} - (-3)^{-2}}{(-4)^{-1}} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}
Uvodni

Izračunati vrednost sledećih izraza sa stepenima broja 10:

1)5⋅10−6−2⋅10−5+3⋅10−42)−4⋅104+2,5⋅1051) \quad 5 \cdot 10^{-6} - 2 \cdot 10^{-5} + 3 \cdot 10^{-4} \\ 2) \quad -4 \cdot 10^4 + 2,5 \cdot 10^5
Uvodni

Izračunati vrednost brojevnog izraza koristeći pravila za stepenovanje:

0,5−1+0,25−2+0,125−3+0,0625−40,5^{-1} + 0,25^{-2} + 0,125^{-3} + 0,0625^{-4}
Uvodni

Uprostiti izraz korišćenjem pravila za stepenovanje:

2−2⋅53⋅10−42−3⋅52⋅10−5\frac{2^{-2} \cdot 5^3 \cdot 10^{-4}}{2^{-3} \cdot 5^2 \cdot 10^{-5}}
Uvodni

Izračunaj vrednost brojevnog izraza:

(6−4(516)0)−2+(23)−1−34\left(6 - 4 \left(\frac{5}{16}\right)^0\right)^{-2} + \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} - \frac{3}{4}
Uvodni

Izračunaj vrednost brojevnog izraza koristeći pravila za stepenovanje:

2−2+20(12)−2−5⋅(−2)−2+(23)−2\frac{2^{-2} + 2^0}{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} - 5 \cdot (-2)^{-2} + \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}}
Uvodni

Izračunaj vrednost brojevnog izraza koristeći pravila stepenovanja:

0,60−(0,1)−1(323)−1⋅(32)3⋅(−13)−1\frac{0,6^0 - (0,1)^{-1}}{\left(\frac{3}{2^3}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{-1}}
Uvodni

Uprostiti izraz koristeći pravila za stepenovanje i zapisati ga u obliku jednog stepena sa zajedničkim izložiocem:

23000⋅320002^{3000} \cdot 3^{2000}
Uvodni