Trougao

Trougao je geometrijska figura određena sa tri tačke koje ne leže na istoj pravoj. Te tačke su temena, a duži koje ih spajaju su stranice. Trougao $ABC$ ima tri temena, tri stranice i tri unutrašnja ugla. Stranice označavamo malim slovom naspramnog temena: $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. Uglovi su $\alpha$ kod temena $A$, $\beta$ kod temena $B$ i $\gamma$ kod temena $C$.

U trouglu se koriste sledeći pojmovi:

• Visina je duž koja ide od temena normalno (pod pravim uglom) na naspramnu stranicu. Visina iz temena $A$ pada na stranicu $BC$ i označava se $h_a$. Svaki trougao ima tri visine. Kod tupouglog trougla visina može pasti van trougla, na produžetak stranice.
• Težišna duž (medijana) je duž koja spaja teme sa središtem naspramne stranice. Težišna duž iz temena $A$ ide do središta stranice $BC$ i označava se $t_a$. Svaki trougao ima tri težišne duži.
• Simetrala ugla (bisektrisa) je poluprava iz temena koja ugao deli na dva jednaka dela. Na primer, simetrala ugla $\alpha$ deli ga na dva ugla od po $\frac\alpha2$.
• Simetrala stranice je prava koja je normalna na stranicu i prolazi kroz njeno središte. Za razliku od simetrale ugla, ne mora da prolazi kroz teme.
• Jednakokraki trougao ima dve jednake stranice, koje se zovu kraci. Treća stranica je osnovica, a ugao naspram nje je ugao pri vrhu. Uglovi uz osnovicu su jednaki.
• Jednakostranični trougao ima sve tri stranice jednake. Svi njegovi uglovi su jednaki i iznose $60^\circ$. Svaki jednakostranični trougao je ujedno i jednakokraki.
• Pravougli trougao ima jedan prav ugao ($90^\circ$). Stranica naspram pravog ugla je hipotenuza i ona je najduža, a druge dve stranice su katete.
• Prema uglovima trouglovi su još oštrougli (sva tri ugla su oštra, manja od $90^\circ$) i tupougli (jedan ugao je tup, veći od $90^\circ$). Trougao ne može imati više od jednog pravog ili tupog ugla.

Sadržaj

1. Uglovi trougla
2. Odnos stranica i uglova
3. Značajne tačke trougla
4. Pravougli trougao

1. Uglovi trougla

Zbir unutrašnjih uglova

Zbir unutrašnjih uglova svakog trougla je $180^\circ$:

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.$$

Dokaz. Kroz teme $C$ povučemo pravu $p$ paralelnu sa stranicom $AB$. Ugao kod $C$ levo od trougla jednak je uglu $\alpha$, a desno uglu $\beta$, jer su to naizmenični uglovi na transverzalama $AC$ i $BC$. Zajedno sa uglom $\gamma$ ova tri ugla čine opružen ugao od $180^\circ$.

Spoljašnji uglovi

Spoljašnji ugao trougla je ugao naporedan sa unutrašnjim uglom. Na slici je $\beta_1$ spoljašnji ugao kod temena $B$, pa je

$$\beta_1+\beta=180^\circ.$$

Kod svakog temena postoje dva spoljašnja ugla, ali su oni unakrsni, pa su jednaki i računamo samo jedan. Zbir spoljašnjih uglova (po jedan kod svakog temena) je

$$3\cdot180^\circ-180^\circ=360^\circ.$$

Spoljašnji ugao je jednak zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla, tj. onih koji nisu uz njegovo teme:

$$\beta_1=\alpha+\gamma.$$

Dokaz. Iz $\beta_1=180^\circ-\beta$ i $\alpha+\gamma=180^\circ-\beta$ (zbir uglova trougla) sledi $\beta_1=\alpha+\gamma$.

2. Odnos stranica i uglova

Veličina stranice i veličina ugla naspram nje povezani su sledećim pravilima.

1. Nejednakost trougla. Svaka stranica trougla je manja od zbira, a veća od razlike preostale dve stranice: $\lvert b-c\rvert<a<b+c$. (Put od $B$ do $C$ duž stranice $a$ je najkraći, kraći od puta preko temena $A$.)
2. Naspram veće stranice nalazi se veći ugao, i obrnuto: $a>b\iff\alpha>\beta$. Na slici je $c>b>a$, pa je $\gamma>\beta>\alpha$.
3. Naspram manje od dve stranice leži oštar ugao. Ako je $a<b$, onda je $\alpha<\beta$, a kako je $\alpha+\beta<180^\circ$, ugao $\alpha$ je oštar.
4. Naspram jednakih stranica nalaze se jednaki uglovi, i obrnuto: $a=b\iff\alpha=\beta$. Zato su kod jednakokrakog trougla uglovi uz osnovicu jednaki, a kod jednakostraničnog su sva tri ugla jednaka ($60^\circ$).
5. Najduža stranica tupouglog trougla nalazi se naspram tupog ugla.

3. Značajne tačke trougla

Kod svakog trougla postoje četiri tačke u kojima se seku po tri prave ili duži istog tipa.

Centar upisanog kruga

Simetrale sva tri unutrašnja ugla seku se u jednoj tački $S$. Ona je jednako udaljena od sve tri stranice, pa je to centar upisanog kruga, kruga koji dodiruje sve tri stranice. Tačka $S$ uvek leži unutar trougla.

Ugao između simetrala uglova $\alpha$ i $\beta$ računamo iz trougla $ASB$, u kome su uglovi kod $A$ i $B$ jednaki polovinama uglova $\alpha$ i $\beta$:

$$\angle ASB=180^\circ-\frac\alpha2-\frac\beta2=180^\circ-\frac{180^\circ-\gamma}{2}=90^\circ+\frac\gamma2.$$

Centar opisanog kruga

Simetrale sve tri stranice seku se u jednoj tački $O$. Ona je jednako udaljena od sva tri temena, pa je to centar opisanog kruga, kruga koji prolazi kroz sva tri temena. Položaj tačke $O$ zavisi od vrste trougla: kod oštrouglog je unutar trougla, kod pravouglog je u sredini hipotenuze, a kod tupouglog je van trougla.

Ortocentar

Prave na kojima leže tri visine seku se u jednoj tački $H$, koja se zove ortocentar. Kao i centar opisanog kruga, kod oštrouglog trougla je unutar trougla, kod pravouglog je u temenu pravog ugla, a kod tupouglog je van trougla.

Težište

Težišne duži seku se u jednoj tački $T$, koja se zove težište i uvek leži unutar trougla. Težište deli svaku težišnu duž u odnosu $2:1$, računajući od temena:

$$AT:TA_1=2:1,\qquad AT=\frac23AA_1,\qquad TA_1=\frac13AA_1.$$

---

Tačka	Presek čega	Osobina
centar upisanog kruga	simetrala unutrašnjih uglova	jednako udaljena od stranica, uvek unutar trougla
centar opisanog kruga	simetrala stranica	jednako udaljena od temena
ortocentar	visina	oštrougli: unutra, pravougli: u temenu pravog ugla, tupougli: van
težište	težišnih duži	deli težišnu duž u odnosu $2:1$ od temena, uvek unutra

4. Pravougli trougao

U pravouglom trouglu je jedan ugao prav, a zbir dva oštra ugla je $90^\circ$. Stranica naspram pravog ugla je hipotenuza, a ostale dve su katete.

Težišna duž na hipotenuzu

U pravouglom trouglu težišna duž na hipotenuzu jednaka je polovini hipotenuze. Ako je $M$ središte hipotenuze $AB$, onda je

$$AM=BM=CM=\frac{AB}{2}.$$

Dokaz. Trougao dopunimo do pravougaonika $ACBD$, gde je $D$ tačka simetrična tački $C$ u odnosu na $M$. Dijagonale pravougaonika su jednake i polove se, pa je $CM=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{AB}{2}$.

Važi i obrnuto: ako je težišna duž jednaka polovini stranice na koju je spuštena, trougao je pravougli. Zaista, iz $AM=BM=CM$ trouglovi $AMC$ i $BMC$ su jednakokraki, pa je $\angle ACM=\alpha$ i $\angle BCM=\beta$. Zato je $\gamma=\alpha+\beta$, a iz $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ sledi $2\gamma=180^\circ$, tj. $\gamma=90^\circ$.

Kateta naspram ugla od $30^\circ$

U pravouglom trouglu kateta naspram ugla od $30^\circ$ jednaka je polovini hipotenuze.

Dokaz. Neka je $\angle C=90^\circ$ i $\angle A=30^\circ$. Trougao $ABC$ preslikamo u odnosu na katetu $AC$ i dobijamo tačku $B'$. Trougao $ABB'$ ima uglove $\angle A=2\cdot30^\circ=60^\circ$ i $\angle B=\angle B'=60^\circ$, pa je jednakostraničan. Zato je $BB'=AB$, a kako je $C$ središte duži $BB'$, važi $BC=\dfrac{BB'}2=\dfrac{AB}2$.