Ugao PCQ na hipotenuzi pravouglog trougla

Označimo oštre uglove pravouglog trougla kod $A$ i $B$ sa $\alpha$ i $\beta .$ Kako je pravi ugao kod $C ,$ njihov zbir je pravi ugao.

\alpha=\angle CAB, \quad \beta=\angle ABC, \quad \alpha+\beta=90^\circ

Iz $AP=AC$ sledi da je $\triangle APC$ jednakokrak sa vršnim uglom $\alpha$ kod $A .$ Njegovi uglovi na osnovici su jednaki, pa svaki iznosi polovinu preostalog ugla.

\angle ACP=\angle APC=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}

Pošto zrak $CP$ leži unutar pravog ugla $ACB ,$ njegov ugao sa krakom $CB$ je dopuna prethodno dobijenog ugla do $90^\circ .$

\angle PCB=90^\circ-\angle ACP=\frac{\alpha}{2}

Slično, iz $BQ=BC$ sledi da je $\triangle BCQ$ jednakokrak sa vršnim uglom $\beta$ kod $B .$ Zato računamo ugao uz osnovicu kod $C ,$ a zatim njegovu dopunu unutar pravog ugla $ACB .$

\angle BCQ=90^\circ-\frac{\beta}{2}, \qquad \angle ACQ=90^\circ-\angle BCQ=\frac{\beta}{2}

Unutar ugla $ACB$ zraci se javljaju redom $CA,CQ,CP,CB :$ od $CA$ do $CQ$ ima $\frac{\beta}{2} ,$ a od $CA$ do $CP$ ima $90^\circ-\frac{\alpha}{2}=45^\circ+\frac{\beta}{2} .$ Preostali ugao između $CP$ i $CQ$ zato je nezavisan od oblika pravouglog trougla.

\angle PCQ=90^\circ-\angle PCB-\angle ACQ=90^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=45^\circ

Započni učenje

Privatni časovi

419

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci