Uglovi trougla uz uslov MN jednako MB

Pošto je $AC=BC ,$ uglovi na osnovici $AB$ su jednaki. Uvedimo oznake za ugao na osnovici, ugao pri vrhu i dva jednaka ugla iz uslova.

\angle CAB=\angle ABC=\alpha,\qquad \angle ACB=\gamma=180^\circ-2\alpha,\qquad \angle ABM=\angle CBN=x

Tačke leže redom $A-M-N-C$ na kraku $AC .$ Zbog tog redosleda, poluprave iz $B$ se unutar ugla $ABC$ pojavljuju redom $BA,BM,BN,BC .$ Kada od celog ugla kod $B$ oduzmemo dva krajnja ugla od po $x ,$ dobijamo ugao između $BM$ i $BN .$

\angle MBN=\alpha-x-x=\alpha-2x

U trouglu $BCN$ ugao kod $B$ je $x ,$ a ugao kod $C$ je $\gamma ,$ jer poluprava $CN$ leži na polupravoj $CA .$ Zato zbir uglova tog trougla određuje ugao $BNC .$

\angle BNC=180^\circ-\gamma-x

Poluprave $NM$ i $NC$ su suprotne, pa su uglovi $BNM$ i $BNC$ suplementni. Tako dobijamo ugao kod $N$ trougla $BMN .$

\angle BNM=180^\circ-\angle BNC=\gamma+x

Iz $MN=MB$ sledi da je trougao $BMN$ jednakokraki. Naspram jednakih stranica nalaze se jednaki uglovi, pa izjednačavamo uglove kod $B$ i $N ,$ a zatim koristimo $\gamma=180^\circ-2\alpha .$

\alpha-2x=\gamma+x=180^\circ-2\alpha+x\quad\Longrightarrow\quad 3\alpha-3x=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad \alpha-x=60^\circ

Traženi ugao sastoji se od uglova $ABM$ i $MBN .$ Njihov zbir je upravo $\alpha-x ,$ čiju smo vrednost odredili.

\angle ABN=\angle ABM+\angle MBN=x+(\alpha-2x)=\alpha-x=\boxed{60^\circ}

Započni učenje

Privatni časovi

430

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci