Uglovi trougla iz uglova MBD 20 i BMK 50 stepeni

Pošto je $MK$ visina trougla $BMC ,$ važi $MK\perp BC .$ Trougao $BMK$ je zato pravougli kod $K .$ Iz datog ugla kod $M$ i zbira uglova trougla dobijamo ugao kod $B .$

\angle BKM=90^\circ,\qquad \angle MBK=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ

Tačka $K$ mora ležati na polupravoj $BC :$ kada bi bila na suprotnoj polupravoj, bilo bi $\angle MBC=180^\circ-40^\circ=140^\circ ,$ pa bi ceo ugao kod $B ,$ koji $BM$ polovi, bio veći od $180^\circ .$ Zato je $\angle MBC=40^\circ .$ Kako je $BM$ simetrala ugla $ABC ,$ isti ugao je i sa druge njene strane.

\angle ABM=\angle MBC=40^\circ,\qquad \angle ABC=80^\circ

Visina $BD$ je normalna na $AC ,$ pa je trougao $ABD$ pravougli kod $D .$ Međutim, podatak $\angle MBD=20^\circ$ ne kaže sa koje strane poluprave $BM$ leži $BD .$ Pošto je $\angle ABM=40^\circ ,$ postoje dve mogućnosti za ugao $ABD .$

\angle ABD=40^\circ-20^\circ=20^\circ\quad\text{ili}\quad \angle ABD=40^\circ+20^\circ=60^\circ

U prvoj konfiguraciji poluprava $BD$ leži između $BA$ i $BM .$ Tada je $\angle ABD=20^\circ ,$ pa iz pravouglog trougla $ABD$ dobijamo ugao kod $A$ ; potom zbir uglova trougla $ABC$ daje ugao kod $C .$

\angle BAC=90^\circ-20^\circ=70^\circ,\qquad \angle BCA=180^\circ-80^\circ-70^\circ=30^\circ

U ovoj konfiguraciji podnožje $D$ prethodi tački $M$ na stranici $AC ,$ dakle redosled je $A-D-M-C .$ U trouglu $BMC$ uglovi su $40^\circ,110^\circ,30^\circ$ ; oba ugla uz stranicu $BC$ su oštra, pa podnožje $K$ zaista leži između $B$ i $C .$ Konfiguracija je zato ostvariva.

A-D-M-C,\qquad B-K-C,\qquad (\angle BMC,\angle MBC,\angle BCM)=(110^\circ,40^\circ,30^\circ)

U drugoj konfiguraciji poluprava $BM$ leži između $BA$ i $BD .$ Tada je $\angle ABD=60^\circ .$ Ponovo koristimo pravougli trougao $ABD$ i zbir uglova trougla $ABC .$

\angle BAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ,\qquad \angle BCA=180^\circ-80^\circ-30^\circ=70^\circ

Sada tačka $M$ prethodi podnožju $D ,$ pa je redosled $A-M-D-C .$ Trougao $BMC$ ima uglove $40^\circ,70^\circ,70^\circ ,$ pa i u ovoj konfiguraciji podnožje $K$ leži između $B$ i $C .$ Dakle, i druga konfiguracija zadovoljava sve date uslove.

A-M-D-C,\qquad B-K-C,\qquad (\angle BMC,\angle MBC,\angle BCM)=(70^\circ,40^\circ,70^\circ)

Prema tome, iz teksta zadatka bez dodatnog podatka o položaju tačaka $D$ i $M$ slede dva rešenja. U oba je ugao kod $B$ jednak $80^\circ ,$ dok uglovi kod $A$ i $C$ mogu zameniti mesta.

\boxed{(\angle A,\angle B,\angle C)=(70^\circ,80^\circ,30^\circ)\ \text{ili}\ (30^\circ,80^\circ,70^\circ)}

Započni učenje

Privatni časovi

431

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci