Dokaz: visina je 3/2 osnovice uz prav ugao težišnih

Neka je $ABC$ jednakokraki trougao sa kracima $AC=BC$ i osnovicom $AB .$ Neka su $AD$ i $BE$ težišne duži nad kracima, a $G$ njihova presečna tačka. Po uslovu zadatka prave koje ih sadrže su normalne.

AD\perp BE,\qquad \angle AGB=90^\circ

Uvedimo pomoćnu tačku $O ,$ središte osnovice $AB .$ U jednakokrakom trouglu duž iz temena $C$ do središta osnovice istovremeno je težišna duž i visina. Sve težišne duži seku se u težištu $G ,$ pa su $C,G,O$ kolinearne i $GO\perp AB .$

AO=OB,\qquad C-G-O,\qquad CO\perp AB

Pravougli trouglovi $AOG$ i $BOG$ imaju jednake katete $AO=OB$ i zajedničku katetu $GO ,$ pa su podudarni. Otuda je $GA=GB .$ Trougao $AGB$ je zato jednakokraki, a njegov ugao pri vrhu $G$ je prav.

AO=OB,\qquad GO=GO\quad\Longrightarrow\quad GA=GB

Naspram jednakih stranica $GA$ i $GB$ nalaze se jednaki uglovi. Njihov zbir je $90^\circ ,$ jer je treći ugao prav, pa svaki iznosi $45^\circ .$ U pravouglom trouglu $AOG$ zato su uglovi kod $A$ i $G$ jednaki, pa su jednake i njima naspramne stranice.

\angle GAB=\angle ABG=45^\circ,\qquad \angle OAG=\angle AGO=45^\circ,\qquad AO=GO

Težište deli svaku težišnu duž u odnosu $2:1 ,$ računajući od temena. Zato na težišnoj duži $CO$ važi $CG:GO=2:1 ,$ pa je cela visina tri puta duža od $GO .$ Sa druge strane, osnovica je dva puta duža od $AO .$

CO=CG+GO=2GO+GO=3GO,\qquad AB=2AO=2GO

Poređenjem poslednje dve jednakosti dobijamo traženi odnos visine koja odgovara osnovici i osnovice.

\boxed{CO=\frac{3}{2}AB}

Započni učenje

Privatni časovi

429

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci