Ugao BCM ako je razlika uglova 23 stepena

Najpre moramo izdvojiti doslovno dopušten krajnji slučaj $M=A .$ Tada je uslov $AC=MC$ automatski ispunjen, jer je $MC=AC ,$ dok je $\angle BCM=\angle BCA .$ Iz podatka $\angle CAB-\angle ABC=23^\circ$ mera ugla kod $C$ nije jednoznačno određena: ako stavimo $\angle CAB=\alpha$ i $\angle ABC=\beta ,$ znamo samo $\alpha-\beta=23^\circ ,$ pa ugao kod $C$ zavisi od $\beta .$

M=A:\qquad \angle BCM=\angle BCA=180^\circ-\alpha-\beta=157^\circ-2\beta

Prema tome, zadatak kako je doslovno napisan ima izuzetak i za $M=A$ rezultat je neodređen. U uobičajenoj udžbeničkoj interpretaciji podrazumeva se netrivijalna unutrašnja tačka $M$ stranice $AB ,$ odnosno $M\in(A,B) .$ U nastavku rešavamo upravo taj nameravani slučaj. Označimo uglove kod $A$ i $B$ ; pošto je $M$ između $A$ i $B ,$ poluprave $AM$ i $AB ,$ kao i $BM$ i $BA ,$ poklapaju se.

\angle CAB=\alpha,\qquad \angle ABC=\beta,\qquad \alpha-\beta=23^\circ

Trougao $ACM$ je jednakokrak jer je $AC=MC .$ Njegova osnovica je $AM ,$ pa su uglovi uz osnovicu jednaki. Kako je $\angle CAM=\angle CAB=\alpha ,$ sledi da je i ugao kod $M$ jednak $\alpha .$

AC=MC\quad\Longrightarrow\quad \angle CAM=\angle AMC=\alpha

Pošto je $M$ unutrašnja tačka duži $AB ,$ poluprave $MA$ i $MB$ su suprotne. Zato su uglovi $AMC$ i $BMC$ suplementni. Takođe je $\angle CBM=\angle CBA=\beta .$

\angle BMC=180^\circ-\angle AMC=180^\circ-\alpha,\qquad \angle CBM=\beta

Primenimo zbir uglova u trouglu $BMC .$ Traženi ugao jednak je razlici početnih uglova, koja je po uslovu $23^\circ .$ Dakle, odgovor $23^\circ$ važi pod nameravanom udžbeničkom konvencijom da je $M$ netrivijalna unutrašnja tačka stranice; bez te konvencije slučaj $M=A$ ostavlja odgovor neodređenim.

\angle BCM=180^\circ-\beta-(180^\circ-\alpha)=\alpha-\beta=\boxed{23^\circ}

Započni učenje

Privatni časovi

420

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci