Dokaz: ugao visine i simetrale kod temena A

Neka je $AD$ visina na pravu $BC ,$ a $AE$ simetrala unutrašnjeg ugla kod $A .$ Uvedimo oznake za uglove trougla.

\alpha=\angle A, \quad \beta=\angle B, \quad \gamma=\angle C, \quad AD\perp BC, \quad \angle BAE=\frac{\alpha}{2}

Najpre neka je $\beta<90^\circ .$ Tada je podnožje $D$ sa strane temena $B$ unutar prave strane ugla kod $A ,$ a iz pravouglog trougla $ABD$ dobijamo ugao između $AB$ i visine.

\angle BAD=90^\circ-\beta

Iz $\beta>\gamma$ sledi da simetrala leži dalje od kraka $AB$ nego visina, jer je njihova razlika pozitivna. Koristeći $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ ,$ računamo ugao između njih.

\angle DAE=\frac{\alpha}{2}-(90^\circ-\beta)=\frac{180^\circ-\beta-\gamma}{2}-90^\circ+\beta=\frac{\beta-\gamma}{2}

Ako je $\beta>90^\circ ,$ podnožje visine je na produžetku $BC$ preko $B .$ U pravouglom trouglu sa temenom $B$ ugao između pravih $AB$ i $AD$ tada iznosi $\beta-90^\circ ,$ a visina i simetrala su sa suprotnih strana kraka $AB .$

\angle(AD,AE)=(\beta-90^\circ)+\frac{\alpha}{2}=\frac{\beta-\gamma}{2}

Za $\beta=90^\circ$ visina se poklapa sa pravom $AB ,$ pa ista jednakost neposredno sledi i predstavlja granični slučaj prethodna dva razmatranja. U svim mogućim položajima dokazano je traženo tvrđenje.

\boxed{\angle(AD,AE)=\frac{\angle B-\angle C}{2}}

Započni učenje

Privatni časovi

421.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci