Dokaz: BM manje od AB i MC manje od AC

Označimo uglove trougla kod $A,B,C$ redom sa $\alpha,\beta,\gamma .$ Pošto je $AM$ simetrala, oba ugla na koje deli ugao kod $A$ imaju meru $\frac{\alpha}{2} .$

\angle BAM=\angle MAC=\frac{\alpha}{2}

Ugao $AMB$ je spoljašnji ugao trougla $AMC ,$ jer su $MB$ i $MC$ suprotni zraci. Zato je jednak zbiru nesusednih unutrašnjih uglova i strogo je veći od $\frac{\alpha}{2} .$

\angle AMB=\angle MAC+\angle ACM=\frac{\alpha}{2}+\gamma>\frac{\alpha}{2}=\angle BAM

U trouglu $ABM$ naspram većeg ugla $AMB$ leži stranica $AB ,$ a naspram manjeg ugla $BAM$ stranica $BM .$ Otuda je prva tražena nejednakost dokazana.

BM<AB

Analogno, ugao $AMC$ je spoljašnji ugao trougla $ABM$ i veći je od ugla $MAC .$

\angle AMC=\angle BAM+\angle ABM=\frac{\alpha}{2}+\beta>\frac{\alpha}{2}=\angle MAC

U trouglu $AMC$ naspram većeg ugla $AMC$ leži $AC ,$ a naspram manjeg ugla $MAC$ leži $MC .$ Time su dokazane obe nejednakosti.

\boxed{BM<AB \quad\text{i}\quad MC<AC}

Započni učenje

Privatni časovi

424

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci