Dokaz: simetrala ugla i delovi naspramne stranice

Neka simetrala $AD$ ugla $BAC$ seče $BC$ u $D .$ Bez umanjenja opštosti pretpostavimo da je $AB>AC$ ; treba dokazati da je tada deo $BD ,$ koji je uz dužu stranicu $AB ,$ duži od $DC .$

AB>AC, \qquad \angle BAD=\angle DAC

Na dužoj stranici $AB$ izaberimo tačku $E$ tako da je $AE=AC .$ Ona je u unutrašnjosti $AB ,$ jer je $AB>AC .$ Trouglovi $AED$ i $ACD$ imaju po dve jednake stranice i jednake uglove zahvaćene tim stranicama.

AE=AC, \quad AD=AD, \quad \angle EAD=\angle DAC

Zato su trouglovi $AED$ i $ACD$ podudarni po dve stranice i zahvaćenom uglu. Otuda su odgovarajuće duži i uglovi jednaki.

ED=DC, \qquad \angle AED=\angle ACD=\angle ACB

Pošto su $EA$ i $EB$ suprotni zraci, ugao $BED$ suplementan je uglu $AED .$ Sa druge strane, zbog $E\in AB$ i $D\in BC ,$ ugao $EBD$ jednak je uglu kod $B$ prvobitnog trougla. Zbir uglova trougla $ABC$ pokazuje da je prvi od ova dva ugla veći.

\angle BED=180^\circ-\angle ACB=\angle BAC+\angle ABC>\angle ABC=\angle EBD

U trouglu $BED$ naspram većeg ugla leži duža stranica. Naspram ugla $BED$ leži $BD ,$ a naspram ugla $EBD$ leži $ED$ ; zato je $BD>ED .$ Kako je $ED=DC ,$ sledi traženo. Ako je $AC>AB ,$ isti dokaz sa zamenjenim ulogama temena $B$ i $C$ daje $DC>BD .$

BD>ED=DC \quad\Longrightarrow\quad \boxed{BD>DC}

Započni učenje

Privatni časovi

422

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci