Dokaz jednakosti uz uglove 15 i 30 stepeni

Najpre računamo treći ugao trougla. Kako je $AD\perp AB$ i $D$ pripada $BC ,$ poznati su i uglovi trougla $ABD .$

\angle BAC=180^\circ-15^\circ-30^\circ=135^\circ, \quad \angle BAD=90^\circ, \quad \angle ABD=15^\circ, \quad \angle ADB=75^\circ

Prava $AD$ deli ugao $BAC ,$ pa je ugao između $AD$ i $AC$ razlika uglova $BAC$ i $BAD .$

\angle DAC=135^\circ-90^\circ=45^\circ

Unutar ugla $BAD$ konstruišimo polupravu koja sa $AB$ gradi ugao od $15^\circ$ i neka ona seče $BD$ u $E .$ U trouglu $ABE$ uglovi kod $A$ i $B$ su jednaki, pa su jednake i njima naspramne stranice.

\angle BAE=15^\circ=\angle ABE \quad\Longrightarrow\quad AE=BE

Pošto je $\angle BAD=90^\circ ,$ preostali ugao između $AE$ i $AD$ iznosi $75^\circ .$ U trouglu $AED$ ugao kod $D$ jednak je uglu $ADB ,$ takođe $75^\circ .$ Naspram jednakih uglova leže jednake stranice.

\angle EAD=90^\circ-15^\circ=75^\circ=\angle ADE \quad\Longrightarrow\quad AE=DE

Iz $AE=BE$ i $AE=DE$ sledi $BE=DE .$ Kako je $E$ na duži $BD ,$ ona je njena sredina, pa je duž $BD$ dvostruko duža od $AE .$

BD=BE+ED=AE+AE=2AE

Zraci $AC$ i $AE$ nalaze se sa suprotnih strana prave $AD ,$ pa je ugao $CAE$ zbir uglova $CAD$ i $DAE .$ U trouglu $ACE$ ugao kod $C$ jednak je zadatom uglu $ACB ,$ jer je $E$ na $BC .$

\angle CAE=45^\circ+75^\circ=120^\circ, \qquad \angle ACE=30^\circ

Treći ugao trougla $ACE$ zato je takođe $30^\circ .$ Naspram jednakih uglova kod $C$ i $E$ leže jednake stranice $AE$ i $AC .$ Uvrštavanjem u ranije dobijenu jednakost završavamo dokaz.

\angle AEC=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ \quad\Longrightarrow\quad AE=AC \quad\Longrightarrow\quad \boxed{BD=2AC}

Započni učenje

Privatni časovi

426

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci