Dokaz: medijana pola stranice daje pravougli trougao

Neka je $AM$ medijana neizrođenog trougla $ABC$ koja odgovara stranici $BC .$ Tada je $M$ sredina $BC .$ Prema uslovu zadatka sve tri duži $AM,BM,CM$ imaju istu dužinu.

BM=CM=\frac{BC}{2}, \qquad AM=\frac{BC}{2} \quad\Longrightarrow\quad AM=BM=CM

Trougao $ABM$ je jednakokrak jer je $AM=BM .$ Označimo njegove jednake uglove naspram tih stranica sa $x .$

\angle BAM=\angle ABM=x

Trougao $ACM$ je takođe jednakokrak jer je $AM=CM .$ Označimo njegove jednake uglove sa $y .$

\angle MAC=\angle ACM=y

Pošto je $M$ na stranici $BC ,$ uglovi prvobitnog trougla kod $B$ i $C$ iznose $x$ i $y ,$ dok je ugao kod $A$ zbir $x+y .$ Zbir unutrašnjih uglova trougla $ABC$ daje sledeću jednakost.

(x+y)+x+y=180^\circ \quad\Longrightarrow\quad x+y=90^\circ

Zato je ugao naspram strane kojoj odgovara data medijana pravi. Neizrođenost obezbeđuje da su $x$ i $y$ pozitivni i da su svi korišćeni trouglovi stvarni.

\boxed{\angle BAC=x+y=90^\circ}

Započni učenje

Privatni časovi

427.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci