Dokaz: medijana na hipotenuzu je pola hipotenuze

Neka je $ABC$ neizrođen pravougli trougao sa pravim uglom kod $A ,$ a $AM$ medijana hipotenuze $BC .$ Tada je $M$ sredina hipotenuze.

\angle BAC=90^\circ, \qquad BM=CM=\frac{BC}{2}

Na polupravoj $AM ,$ iza tačke $M ,$ konstruišimo tačku $D$ tako da je $MD=MA .$ Prave $AD$ i $BC$ seku se u svojim sredinama $M .$

A,M,D \text{ su kolinearne}, \qquad MA=MD, \qquad MB=MC

Trouglovi $AMB$ i $DMC$ imaju po dve jednake stranice, a uglovi između njih su unakrsni i zato jednaki. Podudarni su po dve stranice i zahvaćenom uglu.

AM=DM, \quad BM=CM, \quad \angle AMB=\angle DMC \quad\Longrightarrow\quad AB=DC

Iz jednakosti odgovarajućih uglova iste podudarnosti sledi da su prave $AB$ i $DC$ paralelne. Analogno, podudarni trouglovi $AMC$ i $DMB$ daju $AC=DB$ i $AC\parallel DB .$

AB\parallel DC, \qquad AC=DB, \qquad AC\parallel DB

Uporedimo sada trouglove $BAC$ i $ABD .$ Imaju zajedničku stranicu $AB ,$ važi $AC=BD ,$ a zahvaćeni uglovi su pravi jer je $BD\parallel AC .$

AB=AB, \quad AC=BD, \quad \angle BAC=\angle ABD=90^\circ

Ova dva trougla su podudarna po dve stranice i zahvaćenom uglu, pa su njihove odgovarajuće stranice $BC$ i $AD$ jednake. Kako je $M$ sredina $AD ,$ dobijamo traženu dužinu medijane.

AD=BC, \qquad AM=\frac{AD}{2}=\frac{BC}{2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{AM=\frac{BC}{2}}

Započni učenje

Privatni časovi

427.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci