359.a
Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.
Primenom podudarnosti trouglova dokazati da je svaka tačka na simetrali duži jednako udaljena od krajeva te duži.
Neka je data duž i njena simetrala Neka je središte duži (presek simetrale i duži). Po definiciji simetrale, ona prolazi kroz središte duži i normalna je na nju, pa važi i
Neka je proizvoljna tačka na simetrali Ako se tačka poklapa sa tvrđenje trivijalno važi. Pretpostavimo da je Spajanjem tačke sa krajevima duži i dobijamo trouglove i Potrebno je dokazati da je
Posmatrajmo trouglove i Za njih važe sledeća tri uslova. Prvi uslov je jednakost polovina duži:
Drugi uslov je jednakost uglova koje grade simetrala i duž:
Treći uslov je zajednička stranica:
Na osnovu I stava o podudarnosti trouglova (SUS - stranica, ugao, stranica), pošto imaju jednake po dve stranice i ugao zahvaćen njima, sledi da su trouglovi podudarni.
Iz podudarnosti ovih trouglova sledi jednakost svih odgovarajućih elemenata, pa i jednakost hipotenuza:
Kako je bila proizvoljna tačka na simetrali, zaključujemo da je svaka tačka na simetrali duži jednako udaljena od njenih krajeva. Time je dokaz završen.