Simetrala ugla: tačka jednako udaljena od krakova

Skica: Neka je dat ugao $\angle xOy$ i njegova simetrala $s .$ Neka je $M$ proizvoljna tačka na simetrali $s .$

Da bismo odredili udaljenost tačke $M$ od kraka $Ox$ i $Oy ,$ spuštamo normale iz tačke $M$ na te krake. Neka su $A$ i $B$ podnožja tih normala.

Dakle, važi $MA \perp Ox$ i $MB \perp Oy ,$ pa su uglovi kod temena $A$ i $B$ pravi.

Posmatrajmo pravougle trouglove $\Delta OAM$ i $\Delta OBM .$

Pošto je $s$ simetrala ugla, važi jednakost uglova:

\angle MOA = \angle MOB

Stranica $OM$ je zajednička za oba trougla.

Kako su trouglovi pravougli, zbir oštrih uglova je $90^\circ .$ Treći ugao u trouglovima određujemo kao:

\begin{aligned} \angle AMO &= 90^\circ - \angle MOA \\ \angle BMO &= 90^\circ - \angle MOB \end{aligned}

S obzirom da je $\angle MOA = \angle MOB ,$ sledi da je i:

\angle AMO = \angle BMO

Sada imamo sledeće elemente za trouglove $\Delta OAM$ i $\Delta OBM :$

\begin{aligned} \angle MOA &= \angle MOB \\ OM &= OM \text{ (zajednička stranica)} \\ \angle AMO &= \angle BMO \end{aligned}

Na osnovu drugog stava o podudarnosti trouglova (USU - ugao, stranica, ugao), zaključujemo da su ovi trouglovi podudarni.

\Delta OAM \cong \Delta OBM

Iz podudarnosti trouglova sledi jednakost odgovarajućih stranica, odnosno stranica naspram jednakih uglova.

MA = MB

Ovim smo dokazali da je proizvoljna tačka $M$ na simetrali ugla jednako udaljena od oba njegova kraka.

359.b