372

Neka je $AD$ medijana trougla $ABC$ i neka je $D$ sredina stranice $BC .$ Posmatramo pravu koja sadrži medijanu $AD .$ Rastojanje tačke od prave jeste dužina normale spuštene iz te tačke na pravu. Zato spustimo normale $BP$ i $CQ$ na pravu $AD ,$ gde su $P,Q\in AD$; treba dokazati $BP=CQ .$

Ako se $P$ i $Q$ ne poklapaju sa $D ,$ tačke $P$ i $Q$ leže na suprotnim polupravama prave $AD$ sa početkom u $D ,$ dok su $B$ i $C$ na suprotnim polupravama prave $BC .$ Zato su uglovi $BDP$ i $CDQ$ unakrsni, pa su jednaki. Osim toga, uglovi kod podnožja normala su pravi.

Pošto je zbir uglova svakog trougla $180^\circ ,$ iz jednakosti pravih uglova i uglova kod $D$ sledi jednakost preostalih uglova.

U trouglovima $BDP$ i $CDQ$ jednaka su po dva ugla i stranice $DB$ i $DC$ između njih. Zato su trouglovi podudarni po stavu USU, pa su odgovarajuće normalne jednake.

Ako se podnožja poklapaju sa $D ,$ tada je $AD\perp BC ,$ pa neposredno važi $BP=BD=DC=CQ .$ Dakle, u svim slučajevima su rastojanja temena $B$ i $C$ od prave koja sadrži medijanu $AD$ jednaka.