Podudarni trouglovi: dokaz da je AD = A'D'

Iz podudarnosti trouglova $ABC$ i $A'B'C'$ slede jednakost odgovarajućih stranica i jednakost odgovarajućih uglova.

AB=A'B',\qquad BC=B'C',\qquad \angle CBA=\angle C'B'A'

Pošto je $D$ unutrašnja tačka stranice $AB ,$ poluprave $BD$ i $BA$ se poklapaju. Slično, poluprave $B'D'$ i $B'A'$ se poklapaju. Zato su uglovi kod temena $B$ u manjim trouglovima jednaki odgovarajućim uglovima polaznih trouglova.

\angle CBD=\angle CBA,\qquad \angle C'B'D'=\angle C'B'A'

Prema tome, uglovi $CBD$ i $C'B'D'$ su jednaki. Drugi par uglova jednak je po uslovu zadatka.

\angle CBD=\angle C'B'D',\qquad \angle BCD=\angle B'C'D'

U trouglovima $BCD$ i $B'C'D'$ jednake su stranice $BC$ i $B'C'$ i oba ugla nalegla na njih. Zato su ti trouglovi podudarni po stavu USU.

\triangle BCD\cong\triangle B'C'D'\quad(\mathrm{USU})

Iz ove podudarnosti slede jednake odgovarajuće stranice $BD$ i $B'D' .$

BD=B'D'

Tačke $D$ i $D'$ su unutrašnje tačke odgovarajućih stranica, pa njihove delove dobijamo oduzimanjem. Koristeći $AB=A'B'$ i $BD=B'D' ,$ zaključujemo:

AD=AB-BD=A'B'-B'D'=A'D'

Time je tražena jednakost dokazana.

\boxed{AD=A'D'}

Započni učenje

Privatni časovi

371

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci