Simetrala ugla: jednaki uglovi APB i AQB

Pošto tačka $A$ pripada simetrali ugla $POQ ,$ ona deli taj ugao na dva jednaka ugla: $\angle POA=\angle AOQ .$ U trouglovima $POA$ i $QOA$ važi $OP=OQ ,$ $OA=OA ,$ a jednaki su i uglovi između tih stranica. Zato su trouglovi podudarni po I stavu (SUS), pri korespondenciji $P\leftrightarrow Q ,$ $O\leftrightarrow O ,$ $A\leftrightarrow A .$

OP=OQ,\quad \angle POA=\angle QOA,\quad OA=OA\quad\Longrightarrow\quad\triangle POA\cong\triangle QOA

Iz prve podudarnosti dobijamo jednakost odgovarajućih stranica koje spajaju tačku $A$ sa kracima ugla.

AP=AQ

Tačka $B$ je takođe na simetrali ugla, pa je $\angle POB=\angle BOQ .$ U trouglovima $POB$ i $QOB$ važi $OP=OQ ,$ $OB=OB ,$ a uglovi između tih stranica su jednaki. Po I stavu (SUS) trouglovi su podudarni, pri korespondenciji $P\leftrightarrow Q ,$ $O\leftrightarrow O ,$ $B\leftrightarrow B .$

OP=OQ,\quad \angle POB=\angle QOB,\quad OB=OB\quad\Longrightarrow\quad\triangle POB\cong\triangle QOB

Iz druge podudarnosti dobijamo jednakost odgovarajućih stranica koje spajaju tačku $B$ sa kracima ugla.

BP=BQ

Sada posmatrajmo trouglove $APB$ i $AQB .$ Važi $AP=AQ ,$ $PB=QB$ i $AB=AB .$ Zato su oni podudarni po III stavu (SSS), pri korespondenciji $A\leftrightarrow A ,$ $P\leftrightarrow Q ,$ $B\leftrightarrow B .$

AP=AQ,\quad PB=QB,\quad AB=AB\quad\Longrightarrow\quad\triangle APB\cong\triangle AQB

U poslednjoj podudarnosti temenu $P$ odgovara teme $Q .$ Zato su odgovarajući uglovi jednaki, što je trebalo dokazati.

\angle APB=\angle AQB

Započni učenje

Privatni časovi

369

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci