Simetrala duži: jednaki uglovi AMB i ANB

Neka je $O=AB\cap MN .$ Pošto duž $AB$ pripada simetrali duži $MN ,$ prava $AB$ seče $MN$ u njenom središtu i normalna je na nju. Zato je $OM=ON$ i $AO\perp MN$ ; presek je jedinstven jer se normalne prave ne mogu poklapati.

O=AB\cap MN,\qquad OM=ON,\qquad AB\perp MN

U trouglovima $AOM$ i $AON$ važi $AO=AO ,$ $OM=ON$ i $\angle AOM=\angle AON=90^\circ .$ Uglovi su jednaki iako su poluprave $OM$ i $ON$ suprotnog smera, jer je $AO$ normalna na celu pravu $MN .$ Zato su trouglovi podudarni po stavu SUS, pa je $AM=AN .$

AO=AO,\quad \angle AOM=\angle AON=90^\circ,\quad OM=ON\quad\Longrightarrow\quad AM=AN

Slično, u trouglovima $BOM$ i $BON$ imamo $BO=BO ,$ $OM=ON$ i $\angle BOM=\angle BON=90^\circ .$ Po stavu SUS ovi trouglovi su podudarni, pa je $BM=BN .$

BO=BO,\quad \angle BOM=\angle BON=90^\circ,\quad OM=ON\quad\Longrightarrow\quad BM=BN

Sada trouglovi $AMB$ i $ANB$ imaju $AM=AN ,$ $BM=BN$ i zajedničku stranicu $AB=AB .$ Zato su podudarni po stavu SSS, pri korespondenciji $A\leftrightarrow A ,$ $M\leftrightarrow N ,$ $B\leftrightarrow B .$ Odgovarajući uglovi kod temena $M$ i $N$ zato su jednaki.

\triangle AMB\cong\triangle ANB\quad\Longrightarrow\quad \angle AMB=\angle ANB

Započni učenje

Privatni časovi

368

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci