Jednakokraki trougao: AM je simetrala ugla BMN

Pošto je $AB$ osnovica jednakokrakog trougla, $BC$ je jedan njegov krak. Uslov da je osnovica jednaka polovini kraka daje $AB=\frac{BC}{2} .$ Tačka $M$ je središte duži $BC ,$ pa je i $BM=\frac{BC}{2} .$ Zato je $AB=BM .$

AB=\frac{BC}{2},\qquad BM=\frac{BC}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad AB=BM

Uporedimo trouglove $ABM$ i $MBA .$ Važi $AB=BM ,$ zatim $BM=BA$ zbog iste jednakosti, a $AM=MA$ je zajednička stranica. Zato su trouglovi podudarni po III stavu (SSS), pri korespondenciji $A\leftrightarrow M ,$ $B\leftrightarrow B ,$ $M\leftrightarrow A .$

AB=BM,\quad BM=BA,\quad AM=MA\quad\Longrightarrow\quad\triangle ABM\cong\triangle MBA

Odgovarajući uglovi podudarnih trouglova su jednaki. Temenu $A$ prvog trougla odgovara teme $M$ drugog, pa dobijamo jednakost uglova uz osnovicu $AM$ trougla $ABM .$

\angle BAM=\angle BMA

Po konstrukciji je $MN\parallel AB ,$ a $AM$ je transverzala tih pravih. Zato su odgovarajući uglovi koje ona gradi sa paralelnim pravama jednaki: ugao između $AM$ i $AB$ jednak je uglu između $AM$ i $MN .$

MN\parallel AB\quad\Longrightarrow\quad \angle BAM=\angle AMN

Spajanjem dobijenih jednakosti sledi $\angle BMA=\angle AMN .$ Prava $AM$ zato deli ugao $BMN$ na dva jednaka ugla, pa je ona njegova simetrala.

\angle BMA=\angle BAM=\angle AMN\quad\Longrightarrow\quad AM\text{ je simetrala ugla }BMN

Započni učenje

Privatni časovi

367

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci