Jednakokraki trougao: simetrale uglova na osnovici

Neka je dat jednakokraki trougao $\Delta ABC$ sa osnovicom $AB$ i kracima $AC = BC .$ Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki, pa važi:

\angle CAB = \angle CBA = \alpha

Neka su $AD$ i $BE$ simetrale uglova na osnovici, gde tačka $D \in BC$ i tačka $E \in AC .$ Pošto su to simetrale jednakih uglova, važi:

\angle DAB = \angle EBA = \frac{\alpha}{2}

Posmatrajmo trouglove $\Delta ABD$ i $\Delta BAE .$ Za njih važi sledeće:

\begin{aligned} AB &= BA \quad (\text{zajednička stranica}) \\ \angle ABD &= \angle BAE = \alpha \quad (\text{uglovi na osnovici}) \\ \angle DAB &= \angle EBA = \frac{\alpha}{2} \quad (\text{polovine uglova na osnovici}) \end{aligned}

Na osnovu drugog stava o podudarnosti trouglova (USU - ugao-stranica-ugao), zaključujemo da su ovi trouglovi podudarni:

\Delta ABD \cong \Delta BAE

Iz podudarnosti trouglova sledi jednakost odgovarajućih elemenata. Stranice naspram jednakih uglova (uglova od $\alpha$ ) su jednake, čime smo dokazali da su dužine simetrala uglova na osnovici jednake:

AD = BE

Započni učenje

Online časovi

360.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci