375

Označimo unutrašnji ugao trougla $ABC$ kod temena $A$ sa $\alpha .$ Pošto je $ABC$ nedegenerisan trougao, važi $0^\circ<\alpha<180^\circ .$

Iz jednakostraničnosti trouglova $BAD$ i $ACE$ dobijamo jednakosti stranica koje će biti potrebne za stav SUS, kao i uglove od $60^\circ$ kod temena $A .$

Spoljašnja konstrukcija određuje položaj poluprava: poluprava $AD$ nalazi se sa one strane prave $AB$ na kojoj nije tačka $C ,$ dok se poluprava $AE$ nalazi sa one strane prave $AC$ na kojoj nije tačka $B .$ Zato se, idući oko tačke $A$ od poluprave $AD$ preko unutrašnjeg ugla $BAC$ do poluprave $AE ,$ redom pojavljuju ugao od $60^\circ ,$ ugao $\alpha$ i još jedan ugao od $60^\circ .$ Ovaj raspored omogućava da obične, manje uglove $CAD$ i $BAE$ odredimo po slučajevima.

Ako je $\alpha<120^\circ ,$ zbir $\alpha+60^\circ$ je manji od $180^\circ ,$ pa je upravo taj zbir običan ugao između poluprava $AC$ i $AD .$ Isti zbir je običan ugao između poluprava $AB$ i $AE .$ Prema tome, uključeni uglovi trouglova $ACD$ i $AEB$ jednaki su.

Ako je $\alpha>120^\circ ,$ zbir $\alpha+60^\circ$ je veći od $180^\circ .$ Zato običan ugao nije taj refleksni ugao, već njegov ostatak do punog ugla. To važi i za par poluprava $AC,AD$ i za par poluprava $AB,AE ,$ pa su uključeni uglovi ponovo jednaki.

U oba nedegenerisana slučaja, odnosno kada je $\alpha\ne120^\circ ,$ trouglovi $ACD$ i $AEB$ imaju po dve jednake stranice i jednake njima zahvaćene uglove: $AC=AE ,$ $AD=AB$ i $\angle CAD=\angle BAE .$ Zato su podudarni po stavu SUS. Stranice $CD$ i $BE$ odgovaraju jedna drugoj, pa su jednake.

Preostaje slučaj $\alpha=120^\circ .$ Tada je $\alpha+60^\circ=180^\circ ,$ pa su poluprave $AC$ i $AD$ suprotne, kao i poluprave $AB$ i $AE .$ Dakle, tačke $C,A,D$ su kolinearne i $A$ je između $C$ i $D ,$ dok su tačke $B,A,E$ kolinearne i $A$ je između $B$ i $E .$ Zato važi $CD=CA+AD$ i $BE=BA+AE .$ Koristeći $CA=AE$ i $AD=AB ,$ dobijamo traženu jednakost.