Dokaz nejednakosti PQ manje od BC u pravouglom trouglu

Podrazumevamo da su $P$ i $Q$ unutrašnje tačke kateta. Pošto su katete $AB$ i $AC$ normalne, trougao $APQ$ je pravougli kod $A .$

\angle PAQ=90^\circ

U trouglu $PQC$ ugao $PQC$ je spoljašnji ugao trougla $APQ ,$ jer su $QA$ i $QC$ suprotni zraci. Zato je taj ugao tup.

\angle PQC=\angle PAQ+\angle APQ=90^\circ+\angle APQ>90^\circ

Tup ugao je najveći ugao trougla $PQC$ ; naspram njega je stranica $PC .$ Zato je ona duža od stranice $PQ .$

PQ<PC

U trouglu $BPC$ ugao $BPC$ je spoljašnji ugao pravouglog trougla $APC ,$ jer su $PA$ i $PB$ suprotni zraci. I ovaj ugao je tup.

\angle BPC=\angle PAC+\angle ACP=90^\circ+\angle ACP>90^\circ

Naspram tupog, dakle najvećeg ugla trougla $BPC ,$ leži $BC .$ Stoga je $PC<BC$ ; zajedno sa prethodnom nejednakošću dobijamo tvrđenje.

\boxed{PQ<PC<BC}

Uslov da su tačke unutrašnje je neophodan za tvrđenje zapisano strogom nejednakošću. Ako izraz „tačke na katetama“ dopušta oba krajnja temena i uzmemo $P=B$ i $Q=C ,$ tada je $PQ=BC ,$ pa navedeno tvrđenje nije tačno. Dakle, tekst zadatka prećutno isključuje taj granični izbor.

P=B, \ Q=C \quad\Longrightarrow\quad PQ=BC

Započni učenje

Privatni časovi

425

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci