363.v

Neka su $AD$ i $BE$ podudarne visine trougla $ABC .$ Tačka $D$ je podnožje normale iz $A$ na pravu nosač stranice $BC ,$ a $E$ podnožje normale iz $B$ na pravu nosač stranice $AC$; podnožja, dakle, ne moraju pripadati samim stranicama. Posmatrajmo pravougle trouglove $ABD$ i $BAE .$

Pravougli trouglovi nisu degenerisani. Zaista, kada bi bilo $D=B ,$ imali bismo $AD=AB ,$ pa bi iz $BE=AD$ sledilo $BE=AB .$ To bi bilo moguće samo za $E=A ,$ pa bi trougao $ABC$ imao dva prava ugla, kod $A$ i $B ,$ što je nemoguće. Isto se dobija ako se pretpostavi $E=A .$ Zato je zajednička hipotenuza $AB$ strogo duža od kateta $AD$ i $BE .$

Trouglovi imaju zajedničku hipotenuzu $AB ,$ jednake katete $AD=BE$ i jednake prave uglove naspram duže od te dve jednake stranice. Zato su trouglovi $ABD$ i $BAE$ podudarni po stavu SSU, pa su im odgovarajući uglovi $ABD$ i $BAE$ jednaki.

Preostaje da položaj podnožja povežemo sa unutrašnjim uglovima. Ako je $D$ na polupravoj $BC ,$ tada je $\angle ABD=\angle ABC$; ako je na suprotnoj polupravoj, tada je $\angle ABD=180^\circ-\angle ABC .$ Slično, ako je $E$ na polupravoj $AC ,$ tada je $\angle BAE=\angle BAC$; ako je na suprotnoj polupravoj, tada je $\angle BAE=180^\circ-\angle BAC .$

Ne može samo jedno od podnožja biti na suprotnoj polupravoj. U tom slučaju bi jednakost $\angle ABD=\angle BAE$ dala $\angle ABC+\angle BAC=180^\circ ,$ pa bi treći ugao bio nula, suprotno pretpostavci da je trougao nedegenerisan. Oba podnožja ne mogu biti na suprotnim polupravama, jer bi tada oba ugla $A$ i $B$ bila tupa. Prema tome, obe poluprave imaju odgovarajući smer. Ovo obuhvata i slučaj kada je ugao $C$ tup: tada oba podnožja mogu biti izvan stranica, iza tačke $C ,$ ali i dalje leže na polupravama $BC$ i $AC .$

Zato jednakost odgovarajućih uglova pravouglih trouglova daje $\angle ABC=\angle BAC .$ Naspram jednakih uglova trougla $ABC$ leže jednake stranice $AC$ i $BC .$ Dakle, trougao $ABC$ je jednakokrak.