436

Najpre izdvojimo slučaj $\angle ACB=90^\circ .$ Tada je stranica $AC$ već normalna na $BC ,$ pa se podnožje visine iz $A$ poklapa sa temenom $C ,$ odnosno $M=C .$ Kako je $Q$ središte duži $AC ,$ odmah je $MQ=CQ=AC/2 .$ Sa druge strane, $P$ i $R$ su središta stranica $BC$ i $AB ,$ pa je $PR$ srednja linija trougla i takođe ima dužinu $AC/2 .$

Sada pretpostavimo $\angle ACB\ne90^\circ ,$ odnosno $M\ne C ,$ i dokažimo tvrđenje u opštem nedegenerisanom slučaju. Pošto je $M$ podnožje visine iz temena $A ,$ važi $AM\perp BC .$ Tačke $M$ i $C$ leže na pravoj $BC ,$ pa je trougao $AMC$ pravougli kod $M ,$ sa hipotenuzom $AC .$

Tačka $Q$ je središte stranice $AC ,$ dakle središte hipotenuze pravouglog trougla $AMC .$ Središte hipotenuze jednako je udaljeno od sva tri temena pravouglog trougla. Zato je $MQ=AQ=CQ ,$ a pošto je $Q$ središte duži $AC ,$ svaka od tih dužina jednaka je $AC/2 .$

Tačke $R$ i $P$ su središta stranica $AB$ i $BC .$ Zato je $PR$ srednja linija trougla $ABC :$ paralelna je stranici $AC$ i njena dužina jednaka je polovini te stranice.

U opštem slučaju dobili smo da su $MQ$ i $PR$ jednake istoj dužini $AC/2 .$ Zajedno sa slučajem $\angle C=90^\circ ,$ to dokazuje tvrđenje za sve dopuštene trouglove.