Oštri uglovi iz ugla 10 stepeni između visine i težišne

Neka je $\angle ACB=90^\circ ,$ neka je $H$ podnožje visine iz $C$ na hipotenuzu $AB ,$ a $M$ središte hipotenuze. Označimo oštre uglove trougla.

\angle CAB=\alpha,\qquad \angle ABC=\beta,\qquad \alpha+\beta=90^\circ

Da bismo opravdali potrebnu osobinu središta hipotenuze, na polupravoj $CM ,$ iza $M ,$ uzmimo pomoćnu tačku $D$ tako da je $MD=MC .$ Tačka $M$ tada polovi dijagonale $AB$ i $CD$ četvorougla $ACBD ,$ pa je on paralelogram. Kako je ugao $ACB$ prav, taj paralelogram je pravougaonik i dijagonale su mu jednake. Njihove polovine su zato jednake. Trougao $ACM$ je jednakokraki, pa su mu uglovi naspram $AM$ i $CM$ jednaki.

AM=MB,\quad CM=MD,\quad AB=CD\quad\Longrightarrow\quad AM=CM\quad\Longrightarrow\quad \angle ACM=\angle CAM=\alpha

Trougao $ACH$ je pravougli kod $H ,$ pa ugao između $CA$ i visine $CH$ iznosi $90^\circ-\alpha=\beta .$ Prema tome, manji ugao između visine i težišne duži jednak je apsolutnoj razlici oštrih uglova. Data mera je $10^\circ .$

\angle ACH=\beta,\qquad |\alpha-\beta|=10^\circ

Zajedno sa zbirom $\alpha+\beta=90^\circ ,$ razlika od $10^\circ$ daje dve mogućnosti koje se razlikuju samo zamenom oznaka temena $A$ i $B .$

\alpha+\beta=90^\circ,\quad |\alpha-\beta|=10^\circ\quad\Longrightarrow\quad \{\alpha,\beta\}=\{40^\circ,50^\circ\}

Oštri uglovi pravouglog trougla zato imaju sledeće mere.

\boxed{40^\circ\ \text{i}\ 50^\circ}

Započni učenje

Privatni časovi

434

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci