Dokaz: visina CD je pola simetrale AE uz ugao 108

Pošto je $AC=BC ,$ uglovi na osnovici $AB$ su jednaki. Njihov zbir je $180^\circ-108^\circ=72^\circ ,$ pa svaki iznosi $36^\circ .$ Simetrala $AE$ deli ugao $A$ na dva ugla od $18^\circ .$

\angle CAB=\angle ABC=36^\circ,\qquad \angle CAE=\angle EAB=18^\circ

Tačka $E$ pripada stranici $BC .$ Zato je u trouglu $ACE$ ugao kod $C$ jednak $108^\circ ,$ a ugao kod $A$ jednak $18^\circ .$ Preostali ugao je:

\angle AEC=180^\circ-108^\circ-18^\circ=54^\circ

Preslikajmo tačku $C$ osnom simetrijom u odnosu na pravu $AB$ i označimo njenu sliku sa $C' .$ Pošto je $CD\perp AB ,$ tačka $D$ je središte duži $CC' .$ Otuda je $CC'=2CD .$ Takođe, simetrijom dobijamo $AC'=AC$ i $\angle C'AB=\angle CAB=36^\circ .$

CC'=2CD,\qquad AC'=AC,\qquad \angle CAC'=36^\circ+36^\circ=72^\circ

Trougao $ACC'$ je jednakokrak jer je $AC=AC' .$ Njegov ugao kod $A$ iznosi $72^\circ ,$ pa su jednaki uglovi na osnovici $CC' :$

\angle AC'C=\angle ACC'=\frac{180^\circ-72^\circ}{2}=54^\circ

Dobili smo $\angle AEC=\angle AC'C=54^\circ .$ Ova dva jednaka ugla oslanjaju se na istu duž $AC ,$ pa tačke $A,E,C,C'$ pripadaju istom krugu.

\angle AEC=\angle AC'C\quad\Longrightarrow\quad A,E,C,C'\text{ su konciklične}

U tom krugu su uglovi $\angle ACE$ i $\angle AC'E$ naspramni uglovi tetivnog četvorougla, pa im je zbir $180^\circ .$ Kako je $\angle ACE=108^\circ ,$ sledi $\angle AC'E=72^\circ .$ Već je dokazano i $\angle CAC'=72^\circ .$

\angle AC'E=180^\circ-108^\circ=72^\circ=\angle CAC'

Jednaki periferijski uglovi istog kruga oslanjaju se na jednake tetive. Ugao $\angle AC'E$ oslanja se na tetivu $AE ,$ a ugao $\angle CAC'$ na tetivu $CC' .$ Zato je $AE=CC' .$ Po konstrukciji je $CC'=2CD ,$ pa konačno dobijamo traženo tvrđenje.

AE=CC'=2CD\quad\Longrightarrow\quad \boxed{CD=\frac{AE}{2}}

Započni učenje

Privatni časovi

441

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci