440

Doslovno tvrđenje ima izuzetak koji se ne sme prećutati: teme $A$ pripada pravoj koja je simetrala spoljašnjeg ugla. Ako je $M=A ,$ tada je $MB=AB$ i $MC=AC ,$ pa važi jednakost, a ne stroga nejednakost. Zato sirovo formulisano tvrđenje nije tačno za sve tačke te simetrale; ispravljena, nameravana tvrdnja mora sadržati uslov $M\ne A .$

Dokažimo sada ispravljenu tvrdnju za $M\ne A .$ Preslikajmo tačku $B$ osnom simetrijom u odnosu na pravu spoljašnje simetrale $AM$ i označimo njenu sliku sa $N .$ Pošto tačke na osi simetrije ostaju nepomične, a osna simetrija čuva rastojanja, dobijamo $AN=AB$ i $MN=MB .$

Pošto je $AM$ simetrala spoljašnjeg ugla kod $A ,$ poluprava $AB$ osnom simetrijom prelazi u polupravu suprotnu polupravoj $AC .$ Zato su $N,A,C$ kolinearne tačke i $A$ leži između $N$ i $C .$ Otuda se duž $NC$ sastoji od duži $NA$ i $AC .$

Tačka $M$ ne pripada pravoj $NC .$ Zaista, prava $NC$ je ista kao prava $AC ,$ a prava spoljašnje simetrale i prava $AC$ seku se samo u $A$; pošto je $M\ne A ,$ tačka $M$ nije na $NC .$ Trougao $MNC$ je zato nedegenerisan, pa za njega važi stroga nejednakost trougla.

Zamenom jednakih dužina dobijenih osnom simetrijom i izrazom za $NC$ sledi ispravljena nameravana tvrdnja. Dakle, stroga nejednakost važi za svaku tačku $M$ na simetrali spoljašnjeg ugla osim temena $A$; u izuzetku $M=A$ važi jednakost.