Vektori

Neke veličine, kao što su dužina ili masa, opisuje samo jedan broj. Druge, kao što su pomeranje, brzina ili sila, imaju i pravac i smer: nije svejedno da li se krećemo ka severu ili ka jugu. Takve veličine prikazujemo vektorima.

Vektor je usmerena duž, tj. duž kod koje znamo koja joj je tačka početak, a koja kraj. Crtamo ga kao strelicu. Vektor sa početkom u tački $A$ i krajem u tački $B$ označavamo $\overrightarrow{AB}$, a često i jednim slovom sa strelicom, $\vec a$. Određen je sa tri podatka: pravcem (prava na kojoj leži), smerom (od početka ka kraju, kuda pokazuje strelica) i intenzitetom.

• Intenzitet vektora je njegova dužina, tj. dužina duži $AB$. Označavamo ga $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert$. To je uvek broj veći ili jednak nuli. Na primer, ako je duž $AB$ dugačka $5\text{ cm}$, onda je $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert=5$.
• Jednaki vektori imaju isti pravac, isti smer i isti intenzitet. Nije važno gde je vektor nacrtan, pa ga smemo pomerati paralelno samom sebi, a on ostaje isti vektor. Zato su na slici oba vektora $\vec a$ jednaka, iako su nacrtana na različitim mestima.
• Suprotni vektori imaju isti pravac i isti intenzitet, ali suprotan smer. Vektor suprotan vektoru $\vec a$ označavamo $-\vec a$. Na primer, $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$: to je ista strelica, samo okrenuta na drugu stranu.
• Nula vektor $\vec 0$ je vektor čiji se početak i kraj poklapaju, kao $\overrightarrow{AA}$. To je samo tačka, pa mu je intenzitet $0$, a pravac i smer nisu određeni. Dodavanje nula vektora ništa ne menja: $\vec a+\vec 0=\vec a$.
• Kolinearni vektori leže na istoj pravoj ili na paralelnim pravama, tj. imaju isti pravac. Mogu imati isti ili suprotan smer, a intenziteti mogu biti različiti. Na primer, $\vec a$ i $-\vec a$ su kolinearni. Nula vektor se smatra kolinearnim sa svakim vektorom. Pišemo $\vec a\parallel\vec b$.

Sadržaj

1. Operacije sa vektorima
2. Središte i deljenje duži

1. Operacije sa vektorima

Sabiranje

Vektore možemo sabirati na dva načina. Rezultat je uvek isti.

1. Pravilo poligona (nadovezivanje)

1. Nacrtamo prvi vektor.
2. Iz kraja prvog vektora nacrtamo drugi (istog pravca, smera i dužine), iz kraja drugog treći, i tako redom.
3. Zbir je vektor od početka prvog do kraja poslednjeg vektora.

Za dva vektora dobijamo trougao, pa se to zove i pravilo trougla. Za više vektora dobijamo poligon. U zapisu sa tačkama: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.

2. Pravilo paralelograma

Koristi se za dva vektora koja imaju zajednički početak.

1. Oba vektora nacrtamo iz iste tačke.
2. Dopunimo ih do paralelograma.
3. Zbir je dijagonala paralelograma iz te zajedničke tačke.

Ako vektori nemaju zajednički početak, jedan od njih pomerimo paralelno (smemo, jer se vektor tim pomeranjem ne menja) tako da počinje u istoj tački.

Za tačke $A$, $B$, $C$ je $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Kada se put vrati u početnu tačku, zbir je nula vektor:

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0.$$

Oduzimanje

Oduzimanje je praktično isto što i sabiranje, samo uzmemo vektor suprotnog smera:

$$\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b).$$

1. Vektor $\vec b$ zamenimo suprotnim vektorom $-\vec b$ (isti pravac i dužina, suprotan smer).
2. Vektore $\vec a$ i $-\vec b$ saberemo nadovezivanjem (ili pravilom paralelograma).

Ako $\vec a$ i $\vec b$ imaju zajednički početak, može i brže: razlika $\vec a-\vec b$ ide od kraja vektora $\vec b$ do kraja vektora $\vec a$.

Odatle dobijamo pravilo koje ćemo često koristiti.

Proizvod broja i vektora

Proizvod broja $k$ i vektora $\vec a$ je vektor $k\vec a$ koji:

• ima isti pravac kao $\vec a$,
• ima intenzitet $\lvert k\vec a\rvert=\lvert k\rvert\cdot\lvert\vec a\rvert$,
• ima isti smer kao $\vec a$ ako je $k>0$, a suprotan ako je $k<0$.

Za $k=0$ dobija se nula vektor. Na primer, $\lvert-3\vec a\rvert=3\lvert\vec a\rvert$, a smer je suprotan.

Važi $k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$ i $(k+m)\vec a=k\vec a+m\vec a$. Dva vektora su kolinearni ako je jedan jednak proizvodu drugog i nekog broja: $\vec b=k\vec a$.

2. Središte i deljenje duži

Neka je $C$ središte duži $AB$ i $O$ proizvoljna tačka, a $\overrightarrow{OA}=\vec a$ i $\overrightarrow{OB}=\vec b$. Tada je $\overrightarrow{AC}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$, a za vektor $\overrightarrow{OC}$ važi

$$\boxed{\overrightarrow{OC}=\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)}$$

Isti postupak radi za svaku tačku koja deli duž u datom odnosu: izrazimo vektor od $A$ do te tačke kao deo vektora $\overrightarrow{AB}$, pa nadovežemo na $\overrightarrow{OA}$.