Podudarnost duži, uglova i trouglova

Dve geometrijske figure su podudarne ako se mogu poklopiti, odnosno imaju potpuno isti oblik i istu veličinu. Za duži, uglove i trouglove to znači:

podudarne duži imaju istu dužinu: $AB=CD$ ,
podudarni uglovi imaju istu meru: $\alpha=\beta$ ,
podudarni trouglovi imaju jednake sve odgovarajuće stranice i sve odgovarajuće uglove, a zapisujemo ih znakom $\cong$ .

1. Podudarnost duži

Dve duži su podudarne ako imaju jednaku dužinu. To zapisujemo $AB=CD$ .

Duži se mogu sabirati i oduzimati. Ako su tačke na pravoj raspoređene redom $A,B,C,D$ (pišemo $A-B-C-D$ ), cela duž je zbir svojih delova, a svaki deo je razlika cele duži i ostalih delova:

AD=AB+BC+CD,\qquad AC=AD-CD,\qquad BC=AD-AB-CD.

Primer: Na pravoj su tačke $A-B-C-D$ . Koliko duži određuju ove tačke?

Duž određuju dve tačke. Redom uzimamo svaku tačku kao levi kraj:

levi kraj $A$ : $AB,\ AC,\ AD$ (3 duži),
levi kraj $B$ : $BC,\ BD$ (2 duži),
levi kraj $C$ : $CD$ (1 duž).

Ukupno je $3+2+1=6$ duži.

Primer: Dve podudarne duži $AB$ i $CD$ pokrivaju se jednom trećinom svoje dužine. Rastojanje njihovih središta je $20\text{ cm}$ . Naći dužinu duži.

Neka je $AB=CD=x$ i neka je raspored tačaka na pravoj $A,C,B,D$ . Deo koji se pokriva je $CB=\dfrac13x$ , pa je $AC=x-\dfrac13x=\dfrac23x$ .

Središte $M_1$ duži $AB$ je na rastojanju $AM_1=\dfrac12x$ od $A$ . Središte $M_2$ duži $CD$ je na rastojanju $\dfrac12x$ od $C$ :

AM_2=AC+CM_2=\frac23x+\frac12x=\frac76x.

Rastojanje središta je razlika:

M_1M_2=AM_2-AM_1=\frac76x-\frac12x=\frac23x=20\quad\Rightarrow\quad x=30\text{ cm}.

2. Podudarnost uglova

Za rad sa uglovima potrebni su nam sledeći pojmovi:

Pojam	Značenje
oštar ugao	manji od $90^\circ$
prav ugao	$90^\circ$
tup ugao	između $90^\circ$ i $180^\circ$
opružen ugao	$180^\circ$
komplementni uglovi	zbir je $90^\circ$
suplementni uglovi	zbir je $180^\circ$

Sledi pet pravila koja govore kada su dva ugla jednaka (podudarna), a kada su suplementna.

Unakrsni uglovi

Dve prave koje se seku obrazuju četiri ugla. Uglovi koji leže jedan naspram drugog (imaju samo zajedničko teme) su unakrsni i uvek su jednaki.

Naporedni uglovi

Dva ugla koji imaju jedan zajednički krak, a druga dva kraka čine pravu, su naporedni. Njihov zbir je opružen ugao, pa su suplementni:

\alpha+\beta=180^\circ.

Uglovi sa paralelnim kracima

Ako su kraci jednog ugla paralelni kracima drugog ugla, onda su ti uglovi:

jednaki, ako su oba oštra ili oba tupa,
suplementni ( $\alpha+\beta=180^\circ$ ), ako je jedan oštar, a drugi tup.

Na slikama su paralelni kraci obojeni istom bojom.

Uglovi sa normalnim kracima

Ako su kraci jednog ugla normalni na krake drugog ugla, onda su ti uglovi:

jednaki, ako su oba oštra ili oba tupa,
suplementni ( $\alpha+\beta=180^\circ$ ), ako je jedan oštar, a drugi tup.

Na slikama je plavi krak normalan na plavi, a crveni na crveni (pravi uglovi su označeni).

Uglovi na transverzali

Prava koja seče dve prave $a$ i $b$ je njihova transverzala. Ona obrazuje osam uglova, a kada su prave $a$ i $b$ paralelne, važi:

saglasni uglovi (na istoj strani transverzale i na istoj strani svoje prave) su jednaki,
naizmenični uglovi (na suprotnim stranama transverzale, između pravih) su jednaki,
suprotni uglovi (na istoj strani transverzale, između pravih) su suplementni, njihov zbir je $180^\circ$ .

Važi i obrnuto: ako su saglasni ili naizmenični uglovi jednaki, ili su suprotni suplementni, onda su prave $a$ i $b$ paralelne.

Kod zadataka sa slike često se koristi pomoćna prava: kroz tačku povučemo pravu paralelnu datim pravama, pa ugao podelimo na delove koje umemo da odredimo.

Primer: Ako je $ED\parallel BC$ , $\angle AED=53^\circ$ i $\angle ABC=31^\circ$ , odrediti ugao $x=\angle EAB$ .

Kroz $A$ povučemo pravu $p$ paralelnu sa $ED$ i $BC$ . Ona deli ugao $x$ na $x_1$ i $x_2$ , pa je $x=x_1+x_2$ .

$x_1$ i $\angle AED$ su naizmenični uglovi na transverzali $EA$ : $x_1=53^\circ$ .
$x_2$ i $\angle ABC$ su naizmenični uglovi na transverzali $AB$ : $x_2=31^\circ$ .

Zato je $x=53^\circ+31^\circ=84^\circ$ .

3. Podudarnost trouglova

Trouglovi $ABC$ i $A_1B_1C_1$ su podudarni, u oznaci $\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ , ako su im sve tri stranice i sva tri ugla jednaki:

a=a_1,\quad b=b_1,\quad c=c_1,\qquad \alpha=\alpha_1,\quad \beta=\beta_1,\quad \gamma=\gamma_1.

Redosled temena u zapisu je važan: teme $A$ odgovara temenu $A_1$ , $B$ temenu $B_1$ , a $C$ temenu $C_1$ .

Ne moramo da proveravamo svih šest jednakosti. Dovoljno je da proverimo tri, ali ne bilo koje. To su četiri stava podudarnosti. Na slikama iste oznake (crtice na stranicama, boje na uglovima) označavaju jednake elemente.

Stav SUS (stranica, ugao, stranica)

Trouglovi su podudarni ako su im jednake dve stranice i ugao između njih.

Stav SSS (stranica, stranica, stranica)

Trouglovi su podudarni ako su im jednake sve tri stranice.

Stav USU (ugao, stranica, ugao)

Trouglovi su podudarni ako su im jednaki stranica i dva ugla na njoj. (Treći ugao je tada automatski jednak, jer je zbir uglova $180^\circ$ .)

Stav SSU (stranica, stranica, ugao)

Trouglovi su podudarni ako su im jednake dve stranice i ugao naspram veće od njih.

Tri jednaka ugla ne znače podudarnost. Trouglovi sa istim uglovima imaju isti oblik, ali mogu biti različite veličine.
Kod stava SSU ugao mora biti naspram veće stranice. Ako je ugao naspram manje stranice, podaci mogu odgovarati dvama različitim trouglovima.

Kada dokažemo podudarnost, iz nje sledi da su svi ostali odgovarajući elementi jednaki. Zato se podudarnost koristi za dokazivanje jednakosti duži i uglova. Dokaz pišemo ovako:

Izdvojimo dva trougla koja poredimo.
Navedemo tri jednakosti i obrazložimo svaku (zadato u zadatku, zajednička stranica, simetrala, unakrsni uglovi...).
Navedemo stav po kome su trouglovi podudarni.
Zaključimo da su odgovarajući elementi jednaki.

Primer: Prava normalna na simetralu konveksnog ugla sa temenom $O$ seče krake ugla u tačkama $A$ i $B$ . Dokazati da je trougao $AOB$ jednakokrak.

Trougao je jednakokrak ako su mu dve stranice jednake, pa treba dokazati da je $OA=OB$ . Zato posmatramo dva manja trougla, $AOD$ i $BOD$ , gde je $D$ presek simetrale i prave $AB$ . Ako dokažemo da su ti trouglovi podudarni, njihove odgovarajuće stranice biće jednake, pa će biti $OA=OB$ .

U trouglovima $AOD$ i $BOD$ važi:

$\angle AOD=\angle BOD$ ( $OD$ je simetrala),
$OD=OD$ (zajednička stranica),
$\angle ADO=\angle BDO=90^\circ$ (normalnost).

Po stavu USU je $\triangle AOD\cong\triangle BOD$ , pa je $OA=OB$ . Trougao $AOB$ je jednakokrak.

Primer: Da li su trouglovi $ABC$ i $A_1B_1C_1$ podudarni, ako je $\alpha=\alpha_1=40^\circ$ i

a) $a=a_1=7\text{ cm}$ , $b=b_1=5\text{ cm}$ ; b) $a=a_1=5\text{ cm}$ , $b=b_1=7\text{ cm}$ ?

a) Ugao $\alpha$ je naspram stranice $a=7$ , koja je veća od $b=5$ . Po stavu SSU trouglovi su podudarni.

b) Ugao $\alpha$ je naspram stranice $a=5$ , koja je manja od $b=7$ . Stav SSU ne važi, a sa ovim podacima postoje dva različita trougla, pa trouglovi ne moraju biti podudarni.

Započni učenje

Privatni časovi