Vektori šestougla preko stranice AB i dijagonale BD

Označimo $\overrightarrow{AF}=\vec q .$ Iz geometrije pravilnog šestougla, vektor $\overrightarrow{CD}$ jednak je vektoru $\overrightarrow{AF} ,$ dok se vektor $\overrightarrow{BC}$ dobija kao zbir vektora pravaca dve stranice koje polaze iz $A .$

\overrightarrow{CD}=\vec q,\qquad \overrightarrow{BC}=\vec a+\vec q

Dijagonalni vektor $\overrightarrow{BD}=\vec b$ razložimo preko temena $C .$ Zatim uvrstimo izraze za dve nadovezane stranice i distributivno izdvojimo $\vec q .$

\vec b=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(\vec a+\vec q)+\vec q=\vec a+2\vec q

Iz poslednje jednakosti izrazimo vektor $\vec q ,$ pa pomoću njega zapišemo vektore $\overrightarrow{BC}$ i $\overrightarrow{CD} .$

\vec q=\frac12(\vec b-\vec a),\qquad \overrightarrow{BC}=\vec a+\vec q=\frac12(\vec a+\vec b),\qquad \overrightarrow{CD}=\frac12(\vec b-\vec a)

Naspramne stranice pravilnog šestougla su paralelne i jednake. Kada ih usmerimo redom oko šestougla, njihovi vektori su suprotni, pa preostale tri stranice dobijamo promenom smera prvih triju.

\overrightarrow{DE}=-\vec a,\qquad \overrightarrow{EF}=-\frac12(\vec a+\vec b),\qquad \overrightarrow{FA}=\frac12(\vec a-\vec b)

Vektori šest stranica, usmereni redom od $A$ ka $B ,$ zatim do $C,D,E,F$ i nazad do $A ,$ zato su:

\overrightarrow{AB}=\vec a,\quad \overrightarrow{BC}=\frac12(\vec a+\vec b),\quad \overrightarrow{CD}=\frac12(\vec b-\vec a),\quad \overrightarrow{DE}=-\vec a,\quad \overrightarrow{EF}=-\frac12(\vec a+\vec b),\quad \overrightarrow{FA}=\frac12(\vec a-\vec b)

Ako se pod vektorima koji se poklapaju sa stranicama podrazumevaju i oba moguća usmerenja svake stranice, vektori suprotnog usmerenja dobijaju se promenom znaka odgovarajućih šest izraza.

\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC},\quad \overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD},\quad \overrightarrow{ED}=-\overrightarrow{DE},\quad \overrightarrow{FE}=-\overrightarrow{EF},\quad \overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{FA}

Započni učenje

Privatni časovi

383

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci