Vektori šestougla preko FA i FE: DC, CB, FC, AE

Uzimamo doslednu bazu $\vec a=\overrightarrow{FA}$ i $\vec b=\overrightarrow{FE} .$ Obilaskom pravilnog šestougla redom $A,B,C,D,E,F ,$ paralelne naspramne stranice imaju jednake dužine i suprotne smerove. Smerovi stranica u izabranoj bazi zato su:

\overrightarrow{FA}=\vec a,\quad \overrightarrow{AB}=\vec a+\vec b,\quad \overrightarrow{BC}=\vec b,\quad \overrightarrow{CD}=-\vec a,\quad \overrightarrow{DE}=-(\vec a+\vec b),\quad \overrightarrow{EF}=-\vec b.

Promena smera daje suprotan vektor. Zbog toga iz $\overrightarrow{CD}=-\vec a$ i $\overrightarrow{BC}=\vec b$ odmah dobijamo prva dva tražena vektora:

\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}=\vec a,\qquad \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=-\vec b.

Vektor od $F$ do $C$ rastavljamo nadovezivanjem duž puta $F-A-B-C .$ Zatim koristimo asocijativnost i sabiramo koeficijente uz iste vektore:

\begin{aligned}\overrightarrow{FC}&=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\&=\vec a+(\vec a+\vec b)+\vec b\\&=(\vec a+\vec a)+(\vec b+\vec b)=2\vec a+2\vec b.\end{aligned}

Za vektor od $A$ do $E$ nadovezujemo $\overrightarrow{AF}$ i $\overrightarrow{FE} .$ Pošto je $\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{FA} ,$ dobijamo:

\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FE}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a.

Najzad, nadovezivanjem duž puta $A-F-E-D ,$ uz suprotne vektore i distributivnost, računamo:

\begin{aligned}\overrightarrow{AD}&=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{ED}\\&=-\vec a+\vec b+(\vec a+\vec b)\\&=(-\vec a+\vec a)+(\vec b+\vec b)=2\vec b.\end{aligned}

Traženi vektori, sa proverenim smerovima, jesu:

\boxed{\overrightarrow{DC}=\vec a,\quad \overrightarrow{CB}=-\vec b,\quad \overrightarrow{FC}=2\vec a+2\vec b,\quad \overrightarrow{AE}=\vec b-\vec a,\quad \overrightarrow{AD}=2\vec b}

Započni učenje

Privatni časovi

384

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci