Zbir vektora tri težišne linije trougla

Pošto je $A_1$ središte stranice $BC ,$ važi $\overrightarrow{BA_1}=\frac12\overrightarrow{BC} .$ Nadovezivanjem preko tačke $B$ izražavamo prvu medijanu.

\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}

Kako je $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} ,$ dobijamo simetričan oblik prve medijane.

\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\frac12(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})

Potpuno isto, koristeći da su $B_1$ i $C_1$ središta odgovarajućih stranica, izražavamo preostale dve medijane.

\overrightarrow{BB_1}=\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}),\qquad \overrightarrow{CC_1}=\frac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})

Sabiranjem tri medijane svaki vektor stranice pojavljuje se zajedno sa sebi suprotnim vektorom.

\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})

Zbir svakog para suprotnih vektora jednak je nula-vektoru, pa je traženi zbir:

\boxed{\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec{0}}

Započni učenje

Privatni časovi

395.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci