Zbir vektora od temena do težišta trougla

Izaberimo proizvoljnu tačku $O$ za početak i uvedimo kraće oznake za položajne vektore temena.

\vec a=\overrightarrow{OA},\qquad \vec b=\overrightarrow{OB},\qquad \vec c=\overrightarrow{OC}

Pošto je $A_1$ središte duži $BC ,$ važi $\overrightarrow{BA_1}=\frac12\overrightarrow{BC} .$ Nadovezivanjem vektora preko tačke $B$ dobijamo formulu za položajni vektor središta. Isti postupak primenjujemo na druga dva središta.

\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA_1}=\vec b+\frac12(\vec c-\vec b)=\frac{\vec b+\vec c}{2},\qquad \overrightarrow{OB_1}=\frac{\vec c+\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{OC_1}=\frac{\vec a+\vec b}{2}

Definišimo tačku $T'$ njenim položajnim vektorom. Pokazaćemo neposredno, bez korišćenja nedokazanog odnosa $2:1 ,$ da je ta tačka zajednička tačka svih medijana.

\overrightarrow{OT'}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}

Oduzimanjem položajnih vektora tačaka $A$ i $A_1$ računamo vektore $\overrightarrow{AT'}$ i $\overrightarrow{AA_1} .$ Dobijena jednakost pokazuje da je $T'$ na medijani $AA_1 .$

\overrightarrow{AT'}=\overrightarrow{OT'}-\overrightarrow{OA}=\frac{\vec b+\vec c-2\vec a}{3},\qquad \overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\frac{\vec b+\vec c-2\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{AT'}=\frac23\overrightarrow{AA_1}

Potpuno analogan račun za preostala dva temena pokazuje da $T'$ pripada i medijanama $BB_1$ i $CC_1 .$

\overrightarrow{BT'}=\frac{\vec a+\vec c-2\vec b}{3}=\frac23\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{CT'}=\frac{\vec a+\vec b-2\vec c}{3}=\frac23\overrightarrow{CC_1}

Dakle, $T'$ leži na sve tri medijane, pa je njihova zajednička tačka, odnosno težište trougla. Zato je $T'=T$ i važi $\overrightarrow{OT}=\frac13(\vec a+\vec b+\vec c) .$

T'=T,\qquad 3\overrightarrow{OT}=\vec a+\vec b+\vec c

Na kraju svaki vektor od temena do težišta izražavamo razlikom odgovarajućih položajnih vektora. Njihov zbir se poništava zahvaljujući upravo dokazanoj formuli za $\overrightarrow{OT} .$

\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{BT}+\overrightarrow{CT}=(\overrightarrow{OT}-\vec a)+(\overrightarrow{OT}-\vec b)+(\overrightarrow{OT}-\vec c)=3\overrightarrow{OT}-(\vec a+\vec b+\vec c)=\boxed{\vec 0}

Započni učenje

Privatni časovi

395.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci