Dokaz: vektor do težišta kao trećina zbira

Uvedimo kraće oznake za položajne vektore temena u odnosu na proizvoljnu tačku $O .$

\vec a=\overrightarrow{OA},\qquad \vec b=\overrightarrow{OB},\qquad \vec c=\overrightarrow{OC}

Iz činjenice da je $A_1$ središte duži $BC$ i iz zakona nadovezivanja sledi formula za njegov položajni vektor. Analogno dobijamo formule za druga dva središta.

\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\vec b+\frac12(\vec c-\vec b)=\frac{\vec b+\vec c}{2},\qquad \overrightarrow{OB_1}=\frac{\vec c+\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{OC_1}=\frac{\vec a+\vec b}{2}

Definišimo tačku $T'$ tako da joj je položajni vektor aritmetička sredina položajnih vektora temena.

\overrightarrow{OT'}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}

Poređenjem vektora od $A$ do $T'$ sa vektorom medijane $AA_1$ dokazujemo da $T'$ pripada toj medijani; odnos $2:1$ ovde je posledica računa, a ne korišćena teorema.

\overrightarrow{AT'}=\overrightarrow{OT'}-\overrightarrow{OA}=\frac{\vec b+\vec c-2\vec a}{3}=\frac23\left(\frac{\vec b+\vec c}{2}-\vec a\right)=\frac23\overrightarrow{AA_1}

Cikličnom zamenom temena dobijamo iste odnose za druge dve medijane. Zato $T'$ leži na sve tri medijane, pa je njihova zajednička tačka, odnosno težište $T .$

\overrightarrow{BT'}=\frac23\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{CT'}=\frac23\overrightarrow{CC_1},\qquad T'=T

Pošto se tačke $T'$ i $T$ poklapaju, u definiciju tačke $T'$ vraćamo pune oznake položajnih vektora i dobijamo traženu jednakost.

\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OT'}=\boxed{\frac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})}

Započni učenje

Privatni časovi

395.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci