Srednja linija trougla: dokaz pomoću vektora

Neka su $M$ i $N$ redom središta stranica $AB$ i $AC$ trougla $ABC .$ Tada je $MN$ srednja linija koju posmatramo. Iz definicije središta i množenja vektora skalarom sledi:

\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AN}=\frac12\overrightarrow{AC}.

Vektor $\overrightarrow{MN}$ dobijamo nadovezivanjem duž puta $M-A-N .$ Promena smera daje $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM} ,$ pa distributivnošću računamo:

\begin{aligned}\overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\\&=-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\\&=\frac12(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).\end{aligned}

Nadovezivanje duž puta $B-A-C$ pokazuje da je izraz u zagradi upravo vektor treće stranice:

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.

Zamenom dobijamo pozitivni skalarni umnožak vektora treće stranice. Zato su vektori istog pravca i smera, a intenzitet prvog jednak je polovini intenziteta drugog:

\overrightarrow{MN}=\frac12\overrightarrow{BC},\qquad |\overrightarrow{MN}|=\frac12|\overrightarrow{BC}|.

Prema tome, srednja linija $MN$ paralelna je trećoj stranici $BC$ i njena dužina jednaka je polovini dužine te stranice.

\boxed{MN\parallel BC,\qquad MN=\frac12BC}

Započni učenje

Privatni časovi

387

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci