Dokaz obrnutog tvrđenja: C je središte duži AB

Nadovezivanjem duž puta $A-O-C ,$ uz $\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA} ,$ izražavamo vektor $\overrightarrow{AC} :$

\begin{aligned}\overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\\&=-\overrightarrow{OA}+\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\\&=\frac12(-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).\end{aligned}

Nadovezivanje duž puta $A-O-B$ daje $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} .$ Zato prethodna jednakost postaje:

\overrightarrow{AC}=\frac12\overrightarrow{AB}.

Slično, nadovezivanjem duž puta $C-O-B$ i distributivnošću računamo vektor $\overrightarrow{CB} :$

\begin{aligned}\overrightarrow{CB}&=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}\\&=-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}\\&=-\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\overrightarrow{OB}\\&=\frac12(-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=\frac12\overrightarrow{AB}.\end{aligned}

Dakle, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} .$ Oba vektora imaju isti pravac, isti smer i jednak intenzitet; pri nadovezivanju čine $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{AC} .$ Zato je $C$ na duži $AB$ i važi $AC=CB ,$ pa je $C$ njeno središte.

\boxed{C\text{ je središte duži }AB}

Započni učenje

Privatni časovi

386

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci