398

Dokazaćemo da je nužan i dovoljan uslov da sami vektori $\vec{a}$ i $\vec{b}$ budu kolinearni. Nula-vektor smatramo kolinearnim sa svakim vektorom, jer je njegov skalarni umnožak sa koeficijentom $0 .$

Najpre dokažimo dovoljnost. Ako je $\vec{a}\ne\vec{0}$ i $\vec{b}=t\vec{a}$ za neki realan broj $t ,$ distributivnost pokazuje da su zbir i razlika skalarni umnošci istog vektora, pa su kolinearni.

Ako je $\vec{a}=\vec{0} ,$ tada su zbir i razlika suprotni vektori i zato su kolinearni. Ovim je obuhvaćen i slučaj $\vec{a}=\vec{b}=\vec{0} .$ Dakle, dovoljnost važi i u svim slučajevima sa nula-vektorom.

Dokažimo nužnost. Uvedimo oznake za zbir i razliku. Sabiranjem i oduzimanjem tih jednakosti, uz distributivnost, izražavamo početne vektore preko $\vec{x}$ i $\vec{y} .$

Pretpostavimo prvo da je $\vec{x}\ne\vec{0} .$ Pošto su $\vec{x}$ i $\vec{y}$ kolinearni, postoji realan broj $\lambda$ takav da je $\vec{y}=\lambda\vec{x} .$ Uvrštavanjem i primenom distributivnosti vidimo da su $\vec{a}$ i $\vec{b}$ skalarni umnošci vektora $\vec{x} ,$ pa su kolinearni.

Preostaje slučaj $\vec{x}=\vec{0} ,$ odnosno kada je zbir nula-vektor. Tada neposredno sledi da su početni vektori suprotni, pa su kolinearni. Ako je i razlika nula-vektor, onda istovremeno važi $\vec{b}=-\vec{a}$ i $\vec{b}=\vec{a} ,$ odakle su oba početna vektora nula-vektori.

Posebno, ako je samo razlika nula-vektor, onda je $\vec{a}=\vec{b}$; taj slučaj je već obuhvaćen korakom u kome je $\vec{x}\ne\vec{0}$ i $\lambda=0 .$ Tako nijedan slučaj sa nula-vektorom nije izostavljen.

Prema tome, zbir i razlika su kolinearni tačno onda kada su početni vektori kolinearni, uključujući slučajeve $\vec{a}=\vec{0} ,$ $\vec{b}=\vec{0} ,$ $\vec{a}=\vec{b}$ i $\vec{a}=-\vec{b} .$