Uglovi trougla preko ugla visine sa drugim krakom

Neka je $ABC$ jednakokraki trougao sa osnovicom $AB ,$ jednakim kracima $AC=BC$ i vršnim uglom $\gamma=\angle ACB .$ Neka je $AD$ visina koja odgovara kraku $BC .$ Ugao između te visine i drugog kraka $AC$ jednak je $\varphi .$

AC=BC,\qquad AD\perp BC,\qquad \angle(AD,AC)=\varphi

Ako je vršni ugao oštar, podnožje $D$ je na kraku $BC .$ U pravouglom trouglu $ACD$ uglovi kod $A$ i $C$ imaju zbir $90^\circ ,$ pa je $\varphi=90^\circ-\gamma .$ Zato je u ovom slučaju $\gamma=90^\circ-\varphi .$ Za $\varphi=0^\circ$ dobijamo granični, ali pravilan slučaj $\gamma=90^\circ :$ visina $AD$ poklapa se sa krakom $AC ,$ a $D=C .$

0^\circ<\gamma<90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \gamma=90^\circ-\varphi;\qquad \varphi=0^\circ\quad\Longrightarrow\quad \gamma=90^\circ

Ako je vršni ugao tup, podnožje $D$ je na produžetku kraka preko temena $C .$ Tada je ugao pravouglog trougla $ACD$ kod $C$ suplementan uglu $\gamma ,$ odnosno jednak je $180^\circ-\gamma .$ Zato je $\varphi=90^\circ-(180^\circ-\gamma)=\gamma-90^\circ .$

90^\circ<\gamma<180^\circ\quad\Longrightarrow\quad \gamma=90^\circ+\varphi

U oštrom slučaju vršni ugao je $90^\circ-\varphi .$ Dva jednaka osnovna ugla dobijamo iz zbira unutrašnjih uglova. Spoljašnji uglovi su suplementni odgovarajućim unutrašnjim uglovima.

\angle C=90^\circ-\varphi,\quad \angle A=\angle B=45^\circ+\frac{\varphi}{2};\qquad \angle C_{\mathrm{sp}}=90^\circ+\varphi,\quad \angle A_{\mathrm{sp}}=\angle B_{\mathrm{sp}}=135^\circ-\frac{\varphi}{2}

U tupom slučaju vršni ugao je $90^\circ+\varphi .$ Na isti način dobijamo osnovne i sva tri spoljašnja ugla.

\angle C=90^\circ+\varphi,\quad \angle A=\angle B=45^\circ-\frac{\varphi}{2};\qquad \angle C_{\mathrm{sp}}=90^\circ-\varphi,\quad \angle A_{\mathrm{sp}}=\angle B_{\mathrm{sp}}=135^\circ+\frac{\varphi}{2}

Konačni domen je $0^\circ\leq\varphi<90^\circ .$ Za $0^\circ<\varphi<90^\circ$ postoje dve mogućnosti, $\gamma=90^\circ-\varphi$ i $\gamma=90^\circ+\varphi$ ; za $\varphi=0^\circ$ te dve grane se spajaju i obe daju jedinstveno $\gamma=90^\circ .$ Gornja granica nije dozvoljena jer bi jedan unutrašnji ugao trougla bio nula. U svim slučajevima zbir spoljašnjih uglova je $360^\circ .$

\boxed{0^\circ\leq\varphi<90^\circ},\qquad \gamma\in\left\{90^\circ-\varphi,\,90^\circ+\varphi\right\},\qquad \varphi=0^\circ\Longrightarrow\gamma=90^\circ

Započni učenje

Privatni časovi

410

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci