Linearne jednačine

Linearna jednačina po $x$ ima oblik $ax=b$ . Broj rešenja zavisi od brojeva $a$ i $b$ , a postoje tri slučaja:

Slučaj	Primer	Rešenje
$a\ne0$	$2x=6$	jedno rešenje, $x=\dfrac ba=3$
$a=0$ , $b\ne0$	$0\cdot x=5$	nema rešenja
$a=0$ , $b=0$	$0\cdot x=0$	svaki broj je rešenje

Dve jednačine su ekvivalentne ako imaju potpuno isti skup rešenja. Jednačinu smemo da menjamo samo na načine koji čuvaju rešenja: dodavanje ili oduzimanje istog broja na obe strane i množenje obe strane brojem različitim od nule. Na primer, $x^2=x$ i $x=1$ nisu ekvivalentne: prva ima rešenja $0$ i $1$ , a druga samo $1$ .

1. Rešavanje linearnih jednačina

Postupak: oslobodimo se zagrada, razlomke uklonimo množenjem svakog člana zajedničkim imeniocem, pa prebacimo članove sa $x$ na jednu, a ostale na drugu stranu.

Primer: Rešiti jednačinu $\dfrac{5-x}{6}=1-\dfrac{7x+2}{12}$ .

Zajednički imenilac je $12$ . Množimo sa $12$ svaki član, i onaj bez razlomka:

2(5-x)=12-(7x+2).

Minus ispred zagrade menja znak svakom članu u njoj:

10-2x=12-7x-2\quad\Rightarrow\quad 10-2x=10-7x\quad\Rightarrow\quad 5x=0\quad\Rightarrow\quad x=0.

Kada se pri sređivanju članovi sa $x$ ponište, dobijemo jedan od slučajeva $0\cdot x=b$ .

Primer: Rešiti jednačinu $\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{4-x}{2}=x+1+\dfrac{x-3}{6}$ .

Množimo sa $6$ :

2(2x-1)-3(4-x)=6x+6+(x-3)\quad\Rightarrow\quad 7x-14=7x+3\quad\Rightarrow\quad 0\cdot x=17.

Jednačina nema rešenja.

Proizvod i količnik

Proizvod je jednak nuli kada je bar jedan činilac nula, a količnik kada je brojilac nula, a imenilac nije:

A\cdot B=0\iff A=0\ \lor\ B=0,\qquad \frac AB=0\iff A=0\ \land\ B\ne0.

Primer: Rešiti jednačinu $(x+3)(2x-5)=(x+3)(x-1)$ .

Ne smemo da podelimo obe strane sa $x+3$ , jer bismo izgubili rešenje $x=-3$ . Sve prebacimo na levu stranu i izvučemo zajednički činilac:

(x+3)(2x-5)-(x+3)(x-1)=(x+3)(x-4)=0.

Rešenja su $x=-3$ i $x=4$ .

Primer: Rešiti jednačinu $\dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=0$ .

Brojilac je $(x-1)^2$ , pa je $A=0$ za $x=1$ . Ali tada je i imenilac nula, što nije dozvoljeno. Jednačina nema rešenja.

2. Racionalne jednačine

Kod jednačina sa razlomcima koji sadrže $x$ u imeniocu postupak je sledeći:

Odredimo uslove: svaki imenilac je različit od nule.
Pomnožimo celu jednačinu zajedničkim imeniocem.
Rešimo dobijenu jednačinu.
Proverimo da li rešenje zadovoljava uslove. Rešenje koje ne zadovoljava uslove odbacujemo.

Primer: Rešiti jednačinu $\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{8}{x^2-1}$ .

Uslovi: $x\ne1$ i $x\ne-1$ . Množimo sa $(x-1)(x+1)=x^2-1$ :

3(x+1)-2(x-1)=8\quad\Rightarrow\quad x+5=8\quad\Rightarrow\quad x=3.

Rešenje $x=3$ zadovoljava uslove.

Primer: Rešiti jednačinu $2+\dfrac{1}{t-3}=\dfrac{4-t}{t-3}$ .

Uslov: $t\ne3$ . Množimo sa $t-3$ :

2(t-3)+1=4-t\quad\Rightarrow\quad 2t-5=4-t\quad\Rightarrow\quad t=3.

Ali $t=3$ ne zadovoljava uslov, pa je to strano rešenje. Jednačina nema rešenja. Ovako se dokazuje da neka racionalna jednačina nema rešenja.

3. Jednačine sa apsolutnom vrednošću

Apsolutna vrednost nekog broja predstavlja njegovu udaljenost od nule na brojevnoj pravoj.

|u|=\begin{cases}u, & u\ge0\\ -u, & u<0\end{cases}

Zato izraz u apsolutnoj zagradi ne možemo odmah da sredimo, jer ne znamo da li je pozitivan ili negativan. Rešavamo ovako:

Nađemo $x$ za koje je izraz u apsolutnoj zagradi jednak nuli.
Taj broj deli brojevnu pravu na dva dela. U svakom delu posebno skinemo apsolutnu zagradu: ako je izraz u tom delu pozitivan, samo je izbrišemo, a ako je negativan, izraz stavimo u zagradu sa minusom ispred.
Rešimo dobijenu jednačinu u svakom delu.
Zadržimo samo rešenja koja pripadaju svom delu brojevne prave.

Primer: Rešiti jednačinu $|2x-3|=x$ .

Izraz $2x-3$ je nula za $x=\frac32$ . Po definiciji je

|2x-3|=\begin{cases}2x-3, & 2x-3\ge0\ \text{ tj. }\ x\ge\frac32\\[2pt] -(2x-3), & 2x-3<0\ \text{ tj. }\ x<\frac32\end{cases}

Za $x\ge\frac32$ jednačina je $2x-3=x$ , odakle je $x=3$ . Važi $3\ge\frac32$ , pa je rešenje.
Za $x<\frac32$ jednačina je $-(2x-3)=x$ , tj. $-2x+3=x$ , odakle je $x=1$ . Važi $1<\frac32$ , pa je rešenje.

Rešenja su $x=1$ i $x=3$ .

Kada ima više apsolutnih vrednosti, uzimamo sve nule i dobijamo više intervala.

Primer: Rešiti jednačinu $|x+1|+|x-1|=4$ .

Svaku apsolutnu zagradu rastavimo po definiciji:

|x+1|=\begin{cases}x+1, & x\ge-1\\ -(x+1), & x<-1\end{cases}\qquad |x-1|=\begin{cases}x-1, & x\ge1\\ -(x-1), & x<1\end{cases}

Nule su $x=-1$ i $x=1$ , pa se brojevna prava deli na tri intervala. Znak svakog izraza u svakom intervalu prikazan je tablicom:

Interval	$x<-1$	$-1\le x<1$	$x\ge1$
$\lvert x+1\rvert$	$-(x+1)$	$x+1$	$x+1$
$\lvert x-1\rvert$	$-(x-1)$	$-(x-1)$	$x-1$

Na izraz sa znakom $-$ stavljamo minus ispred zagrade, a izraz sa znakom $+$ samo prepišemo. Rešavamo u svakom intervalu:

$x<-1$ : $-(x+1)-(x-1)=-2x=4$ , odakle je $x=-2$ . Pripada intervalu, pa je rešenje.
$-1\le x<1$ : $(x+1)-(x-1)=2$ , a $2\ne4$ . Nema rešenja.
$x\ge1$ : $(x+1)+(x-1)=2x=4$ , odakle je $x=2$ . Pripada intervalu, pa je rešenje.

Rešenja su $x=-2$ i $x=2$ .

4. Jednačine sa parametrom

Parametar je slovo (obično $m$ , $a$ ili $k$ ) koje u jednačini zamenjuje neki zadati broj, ali ne kažemo koji. Nije nepoznata kao $x$ : $x$ tražimo, a parametar samo prepisujemo kao da je običan broj.

Uporedimo dve jednačine:

3x=6\qquad\text{i}\qquad m\,x=6.

U prvoj je uz $x$ broj $3$ , pa je $x=\dfrac63=2$ . U drugoj je uz $x$ slovo $m$ , ali postupak je isti: delimo sa onim što stoji uz $x$ , pa je $x=\dfrac6m$ . Jedina razlika je što smemo da delimo samo ako taj broj nije nula. Zato pitamo: za koje vrednosti $m$ se to ne sme? Ovde je to $m=0$ , kada jednačina postaje $0\cdot x=6$ i nema rešenja.

Zato parametar tretiramo kao običan broj i jednačinu rešavamo redovnim postupkom. Jedino je važno da uz rešenje napišemo uslove za parametar pod kojima ono važi.

Primer: Rešiti jednačinu $m^2x+1=m(x+1)$ .

Članove sa $x$ prebacimo na levu stranu:

m^2x-mx=m-1\quad\Rightarrow\quad m(m-1)\,x=m-1.

Koeficijent uz $x$ je nula za $m=0$ i $m=1$ .

$m\ne0$ i $m\ne1$ : $x=\dfrac{m-1}{m(m-1)}=\dfrac1m$ .
$m=0$ : jednačina je $0\cdot x=-1$ , nema rešenja.
$m=1$ : jednačina je $0\cdot x=0$ , svaki broj je rešenje.

Kada je $x$ u imeniocu, pored toga pazimo i na uslove definisanosti.

Primer: Rešiti jednačinu $\dfrac{2}{x+a}-\dfrac{3}{x-a}+\dfrac{5a}{x^2-a^2}=0$ .

Uslovi: $x\ne a$ i $x\ne-a$ . Množimo sa $x^2-a^2$ :

2(x-a)-3(x+a)+5a=0\quad\Rightarrow\quad -x=0\quad\Rightarrow\quad x=0.

Za $a\ne0$ je $x=0$ dozvoljeno, pa je to rešenje. Za $a=0$ je $x=0$ upravo zabranjena vrednost ( $x\ne a=0$ ), pa tada jednačina nema rešenja.

5. Tekstualni zadaci

Postupak: nepoznatu veličinu označimo sa $x$ , iz teksta sastavimo jednačinu, rešimo je i proverimo da li rešenje odgovara zadatku.

Primer: Majka ima $27$ godina, a ćerka $3$ . Kroz koliko godina će majka biti četiri puta starija od ćerke?

Neka je $x$ broj godina. Tada majka ima $27+x$ , a ćerka $3+x$ godina:

27+x=4(3+x)\quad\Rightarrow\quad 27+x=12+4x\quad\Rightarrow\quad x=5.

Kroz $5$ godina.

Primer: U izvesnu količinu $75\%$ -nog alkohola dodato je $12$ l vode i dobijen je $51\%$ -ni alkohol. Kolika je bila prvobitna količina?

Neka je prvobitna količina $x$ litara. Čistog alkohola u njoj ima $0{,}75x$ , i toliko ga ima i posle dodavanja vode, kada je ukupna količina $x+12$ :

0{,}75x=0{,}51(x+12)\quad\Rightarrow\quad 0{,}24x=6{,}12\quad\Rightarrow\quad x=25{,}5\ \text{l}.

Primer: Jedna cev napuni bazen za $15$ časova, druga za $20$ , a treća za $30$ . Za koliko časova će ga napuniti sve tri zajedno?

U jednom času prva cev napuni $\frac1{15}$ bazena, druga $\frac1{20}$ , a treća $\frac1{30}$ . Neka je $x$ traženo vreme. Za $x$ časova zajedno napune ceo bazen, tj. $1$ :

x\left(\frac1{15}+\frac1{20}+\frac1{30}\right)=1\quad\Rightarrow\quad x\cdot\frac{4+3+2}{60}=1\quad\Rightarrow\quad x=\frac{60}{9}=\frac{20}{3}.

To je $6$ časova i $40$ minuta.

Započni učenje

Privatni časovi

Linearne jednačine

Sadržaj

1. Rešavanje linearnih jednačina

Proizvod i količnik

2. Racionalne jednačine

3. Jednačine sa apsolutnom vrednošću

4. Jednačine sa parametrom

5. Tekstualni zadaci

Zadaci za vežbanje

Zadaci za vežbanje