4293.

669.z

TEKST ZADATKA

Ispitati da li su ekvivalentne sledeće jednačine: x−3+1x−8=5+1x−8 x - 3 + \frac{1}{x - 8} = 5 + \frac{1}{x - 8} i x−3=5. x - 3 = 5 .

REŠENJE ZADATKA

Dve jednačine su ekvivalentne ako imaju isti skup rešenja. Prvo ćemo odrediti domen i rešiti prvu jednačinu.

x−3+1x−8=5+1x−8x - 3 + \frac{1}{x - 8} = 5 + \frac{1}{x - 8}

Primetimo da prva jednačina sadrži razlomak čiji imenilac ne sme biti nula. Određujemo domen prve jednačine:

x−8≠0  ⟹  x≠8x - 8 \neq 0 \implies x \neq 8

Sada možemo uprostiti prvu jednačinu oduzimanjem istog člana 1x−8 \frac{1}{x - 8} sa obe strane, uz uslov da je x≠8: x \neq 8 :

x−3=5  ⟹  x=8x - 3 = 5 \implies x = 8

Pošto dobijena vrednost x=8 x = 8 ne pripada domenu prve jednačine (x≠8 x \neq 8 ), prva jednačina nema rešenja. Skup rešenja prve jednačine je prazan skup:

S1=∅S_1 = \emptyset

Sada rešavamo drugu jednačinu. Ova jednačina je definisana za sve realne brojeve jer nema razlomaka niti drugih ograničenja:

x−3=5  ⟹  x=8x - 3 = 5 \implies x = 8

Skup rešenja druge jednačine sadrži jedan element:

S2={8}S_2 = \{8\}

Upoređujemo skupove rešenja S1 S_1 i S2. S_2 . Pošto ∅≠{8}, \emptyset \neq \{8\} , jednačine nisu ekvivalentne.

S1≠S2S_1 \neq S_2