4296.

669.e

TEKST ZADATKA

Ispitati da li su ekvivalentne sledeće jednačine: x2−1x−1=3 \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 3 i x+1=3. x + 1 = 3 .

REŠENJE ZADATKA

Dve jednačine su ekvivalentne ako imaju isti skup rešenja. Prvo rešavamo prvu jednačinu, uzimajući u obzir definisanost izraza (imenilac ne sme biti nula).

x−1≠0  ⟹  x≠1x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1

Sada transformišemo brojilac prve jednačine koristeći razliku kvadrata i skraćujemo razlomak.

(x−1)(x+1)x−1=3\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = 3

Nakon skraćivanja (pod uslovom x≠1 x \neq 1 ), dobijamo linearnu jednačinu.

x+1=3  ⟹  x=2x + 1 = 3 \implies x = 2

Rešenje x=2 x = 2 zadovoljava uslov x≠1, x \neq 1 , pa je skup rešenja prve jednačine:

S1={2}S_1 = \{2\}

Zatim rešavamo drugu jednačinu. Ova jednačina je definisana za sve realne brojeve.

x+1=3  ⟹  x=2x + 1 = 3 \implies x = 2

Skup rešenja druge jednačine je:

S2={2}S_2 = \{2\}

Pošto su skupovi rešenja obe jednačine identični, zaključujemo da su jednačine ekvivalentne.

S1=S2={2}S_1 = S_2 = \{2\}