4291.

669.v

TEKST ZADATKA

Ispitati da li su ekvivalentne sledeće jednačine: (x−2)(x−1)=2(x−1) (x - 2)(x - 1) = 2(x - 1) i x−2=2. x - 2 = 2 .

REŠENJE ZADATKA

Dve jednačine su ekvivalentne ako imaju isti skup rešenja. Prvo ćemo rešiti prvu jednačinu.

(x−2)(x−1)=2(x−1)(x - 2)(x - 1) = 2(x - 1)

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo uočili zajednički faktor.

(x−2)(x−1)−2(x−1)=0(x - 2)(x - 1) - 2(x - 1) = 0

Izvlačimo zajednički faktor (x−1) (x - 1) ispred zagrade.

(x−1)((x−2)−2)=0(x−1)(x−4)=0(x - 1)((x - 2) - 2) = 0 \\ (x - 1)(x - 4) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od faktora jednak nuli.

x−1=0ilix−4=0x1=1,x2=4x - 1 = 0 \quad \text{ili} \quad x - 4 = 0 \\ x_1 = 1, \quad x_2 = 4

Skup rešenja prve jednačine je:

S1={1,4}S_1 = \{1, 4\}

Sada rešavamo drugu jednačinu.

x−2=2x - 2 = 2

Dodajemo 2 obema stranama jednačine.

x=2+2x=4x = 2 + 2 \\ x = 4

Skup rešenja druge jednačine je:

S2={4}S_2 = \{4\}

Upoređujemo skupove rešenja S1 S_1 i S2. S_2 . Pošto skupovi nisu identični, jednačine nisu ekvivalentne.

S1≠S2  ⟹  {1,4}≠{4}S_1 \neq S_2 \implies \{1, 4\} \neq \{4\}