4291. Linearne jednačine

TEKST ZADATKA

Ispitati da li su ekvivalentne sledeće jednačine: $(x - 2)(x - 1) = 2(x - 1)$ i $x - 2 = 2 .$

REŠENJE ZADATKA

Dve jednačine su ekvivalentne ako imaju isti skup rešenja. Prvo ćemo rešiti prvu jednačinu.

(x - 2)(x - 1) = 2(x - 1)

Prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo uočili zajednički faktor.

(x - 2)(x - 1) - 2(x - 1) = 0

Izvlačimo zajednički faktor $(x - 1)$ ispred zagrade.

(x - 1)((x - 2) - 2) = 0 \\ (x - 1)(x - 4) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od faktora jednak nuli.

x - 1 = 0 \quad \text{ili} \quad x - 4 = 0 \\ x_1 = 1, \quad x_2 = 4

Skup rešenja prve jednačine je:

S_1 = \{1, 4\}

Sada rešavamo drugu jednačinu.

x - 2 = 2

Dodajemo 2 obema stranama jednačine.

x = 2 + 2 \\ x = 4

Skup rešenja druge jednačine je:

S_2 = \{4\}

Upoređujemo skupove rešenja $S_1$ i $S_2 .$ Pošto skupovi nisu identični, jednačine nisu ekvivalentne.

S_1 \neq S_2 \implies \{1, 4\} \neq \{4\}

669.v