Granična vrednost niza

Realni broj $a$ je granična vrednost ili limes niza $(a_n)$ ako se članovi niza približavaju broju $a$ kada $n$ neograničeno raste. To zapisujemo kao

$$\lim_{n\to\infty}a_n=a.$$

Intuitivno, limes možemo posmatrati kao broj kome se članovi niza sve više približavaju. Što posmatramo članove sa većim indeksima, njihova rastojanja od tog broja postaju sve manja.

Na primer, za niz

$$a_n=\frac1n$$

dobijamo članove

$$1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ldots$$

Kako $n$ raste, vrednosti postaju sve bliže broju $0$. One ne moraju nikada biti jednake nuli — dovoljno je da mogu da joj se približe koliko god želimo. Zato kažemo

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.$$

Upravo tu ideju formalno opisuje $\varepsilon$-definicija: ma koliko mali interval oko limesa izabrali, od nekog člana nadalje svi članovi niza nalaze se unutar tog intervala. Preciznije, za svako $\varepsilon>0$ svi članovi niza, počev od nekog mesta, nalaze se u intervalu $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$:

$$(\forall \varepsilon>0)(\exists n_0\in\mathbb N)(\forall n\in\mathbb N)\left(n>n_0\implies |a_n-a|<\varepsilon\right).$$

Niz sa konačnom graničnom vrednošću je konvergentan, a niz bez konačne granične vrednosti je divergentan. Konačan broj početnih članova ne utiče na limes.

Sadržaj

1. Konvergentni i divergentni nizovi
2. Računska pravila za limese

1. Konvergentni i divergentni nizovi

Niz je konvergentan ako ima konačnu graničnu vrednost. Ako je ta granična vrednost nula, niz se naziva nula-niz.

Niz koji nema konačnu graničnu vrednost je divergentan. Neki divergentni nizovi rastu ili opadaju bez granice. Tada koristimo oznake $+\infty$ i $-\infty$.

Važi

$$\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty$$

ako za svaki realan broj $M$ postoji $n_0\in\mathbb N$ takav da je $a_n>M$ za svaki $n>n_0$.

Slično,

$$\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$$

ako za svaki realan broj $M$ postoji $n_0\in\mathbb N$ takav da je $a_n<M$ za svaki $n>n_0$.

2. Računska pravila za limese

Neka su nizovi $(a_n)$ i $(b_n)$ konvergentni i neka je

$$\lim_{n\to\infty}a_n=a, \qquad \lim_{n\to\infty}b_n=b.$$

Tada za zbir i razliku važi

$$\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n) =\lim_{n\to\infty}a_n \pm\lim_{n\to\infty}b_n =a\pm b.$$

Za proizvod važi

$$\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) =\lim_{n\to\infty}a_n\cdot \lim_{n\to\infty}b_n =a\cdot b.$$

Za količnik važi

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n} =\frac{a}{b},$$

pod uslovom da je $b\ne0$ i da je $b_n\ne0$ za sve $n$.