Limes niza sa (n + 1) na kub i (n − 1) na kub

Kubove u brojiocu razvijamo po formuli $(x\pm y)^3=x^3\pm3x^2y+3xy^2\pm y^3 :$

(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,\qquad(n-1)^3=n^3-3n^2+3n-1

Pri oduzimanju se članovi $n^3$ i $3n$ potiru:

(n+1)^3-(n-1)^3=6n^2+2

U imeniocu se, posle kvadriranja, potiru linearni članovi:

(n+1)^2+(n-1)^2=(n^2+2n+1)+(n^2-2n+1)=2n^2+2

Deljenjem brojioca i imenioca sa $2n^2$ dobijamo:

\frac{6n^2+2}{2n^2+2}=\frac{3+\frac1{n^2}}{1+\frac1{n^2}}

Kako $\frac1{n^2}\to0 ,$ brojilac teži broju $3 ,$ a imenilac broju $1 :$

\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac1{n^2}}{1+\frac1{n^2}}=\frac{3+0}{1+0}=3

Granična vrednost je $3 .$

3.a