5244. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to\infty ,$ i brojilac i imenilac rastu neograničeno, pa dobijamo neodređeni izraz „ $\frac{\infty}{\infty}$ ”. Postupak: brojilac i imenilac podelimo najvećim stepenom promenljive koji se javlja u imeniocu. Pri tome koristimo da $\frac{c}{x^k}\to0$ kada $x\to\infty$ (za $k>0$ ): npr. $\frac1x$ za $x=10;\ 100;\ 1000$ iznosi $0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 .$

Brojilac raste kao $\sqrt{2x^2}=\sqrt2\,x ,$ a imenilac kao $\sqrt[3]{x^3}=x .$ Delimo sa $x :$ pod kvadratnim korenom to je deljenje sa $x^2 ,$ a pod trećim sa $x^3 :$

\frac{\sqrt{2x^2+3x}}{\sqrt[3]{x^3+2}}=\frac{\sqrt{2+\frac3x}}{\sqrt[3]{1+\frac2{x^3}}}

Kada $x\to+\infty :$

\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{2+\frac3x}}{\sqrt[3]{1+\frac2{x^3}}}=\frac{\sqrt2}{1}=\sqrt2

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx1{,}5156 \\ x=100:\ f(x)\approx1{,}4248 \\ x=1000:\ f(x)\approx1{,}4153\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{2x^2+3x}}{\sqrt[3]{x^3+2}}=\sqrt2 .$

Započni učenje

Online časovi

123.i

Beleške