5248. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to+\infty ,$ oba sabirka rastu neograničeno, pa razlika daje neodređeni izraz „ $\infty-\infty$ ” — ne znamo unapred koji sabirak „pobeđuje”. Takve izraze svodimo na oblik razlomka: razliku korena pomnožimo i podelimo zbirom tih korena, pa po formuli $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ koreni u brojiocu nestaju.

Množimo i delimo zbirom $\sqrt{x+1}+\sqrt x .$ U brojiocu dobijamo razliku kvadrata korena, tj. razliku izraza pod korenima:

\sqrt{x+1}-\sqrt x=\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt x\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt x\right)}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}=\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}

Imenilac raste neograničeno, a brojilac je $1 ,$ pa razlomak teži nuli:

\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}=0

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx0{,}1543 \\ x=100:\ f(x)\approx0{,}0499 \\ x=1000:\ f(x)\approx0{,}0158\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)=0 .$

Započni učenje

Online časovi

124.a

Beleške