5256. Granična vrednost funkcije

Podsetimo se definicije: $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ znači da su vrednosti $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno veliki broj. Slično, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ znači da je $f(x)$ proizvoljno blizu broja $b$ za sve dovoljno male (negativne) $x .$ Kada su obe granične vrednosti iste, piše se kratko $\lim_{x\to\infty}f(x)=b .$

Kada $x\to+\infty ,$ oba sabirka rastu neograničeno, pa razlika daje neodređeni izraz „ $\infty-\infty$ ” — ne znamo unapred koji sabirak „pobeđuje”. Takve izraze svodimo na oblik razlomka: razliku korena pomnožimo i podelimo zbirom tih korena, pa po formuli $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ koreni u brojiocu nestaju.

Koreni su različitog reda, pa dodamo i oduzmemo $x$ (oba korena se ponašaju približno kao $x$ ) i posmatramo dve razlike posebno:

\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}=\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x\right)-\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)

Prva razlika: sa $A=\sqrt[3]{x^3+3x^2}$ je $A-x=\frac{A^3-x^3}{A^2+Ax+x^2}=\frac{3x^2}{A^2+Ax+x^2} .$ Delimo sa $x^2$ ; pri tome je $\frac Ax=\sqrt[3]{1+\frac3x} :$

\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1+\frac3x\right)^2}+\sqrt[3]{1+\frac3x}+1}=\frac{3}{3}=1

Druga razlika: množimo i delimo sa $\sqrt{x^2-2x}+x ,$ pa delimo sa $x :$

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-2x-x^2}{\sqrt{x^2-2x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-2}{\sqrt{1-\frac2x}+1}=-1

Po pravilu za razliku:

\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)=1-(-1)=2

Provera brojevima, za sve veće $x :$

\begin{gathered}x=10:\ f(x)\approx1{,}9697 \\ x=100:\ f(x)\approx1{,}9952 \\ x=1000:\ f(x)\approx1{,}9995\end{gathered}

Rešenje: $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)=2 .$

Započni učenje

Online časovi

124.z

Beleške